1 ARMA時間序列機器特性
下面介紹一種重要的平穩時間序列——ARMA時間序列。
ARMA時間序列分為三種：
AR模型，auto regressiv model
MA模型，moving average model
ARMA模型，auto regressive moving average model
可證ARMA時間序列具有遍歷性，因此可以通過它的一個樣本估計自協方差函數及自相關函數。
2 ARMA、AR、MA模型的基礎知識(略)
3 例：隨機模擬下列序列，樣本容量10000，其中樣本符合均值為零，方差為1的標准正太分布。計算自相關值
MATLAB代碼如下：
%% DEMO1
% 利用模型數據研究隨機模擬下序列。計算自相關函數
clc;clear;
rng('default'); % 初始化隨機種子，保持隨機種子一致
elps = randn(1,10000); % 產生10000個服從正態分布的隨機數
x(1) = 0; % 賦初始值
for j = 2:10000
x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1); % 產生樣本點
end
y = (x - mean(x)); % 把數據中心化處理
gama0 = var(x); % 求樣本方差
for j = 1:10
gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)'/10000; %求自協方差函數
end
rho = gama/gama0; %求自相關函數
rho2 = autocorr(x); % 直接利用MATLAB工具箱求自相關函數。
disp([rho(1),rho(2),rho(4),rho(4)]);
disp([rho2(2),rho2(3),rho2(4),rho2(5)])
% 其自相關函數的計算結果基本一致
% 0.5430 0.4296 0.2551 0.2551
% 0.5430 0.4297 0.3396 0.2552
4 例：利用MATLAB計算自相關值
%% DEMO2
% 利用模型數據研究隨機模擬下序列。計算偏自相關函數
clc;clear;
rng('default'); % 初始化隨機種子，保持隨機種子一致
elps = randn(1,10000); % 產生10000個服從正態分布的隨機數
x(1) = 0; % 賦初始值
for j = 2:10000
x(j) = 0.8 * x(j-1) + elps(j) - 0.4 * elps(j-1); % 產生樣本點
end
y = (x - mean(x)); % 把數據中心化處理
gama0 = var(x); % 求樣本方差
L = 10;
for j = 1:L
gama(j) = y(j+1:end)*y(1:end-j)'/10000; %求自協方差
end
rho = gama/gama0; % 求自相關系數
f(1,1)=rho(1);
for k = 2:L
s1 = rho(k);s2=1; % 計算初始值
for j = 1:k-1
s1 = s1-rho(k-j)*f(k-1,j);
s2 = s2-rho(j)*f(k-1,j);
f(k,k)=s1/s2;
end
for j = 1:k-1
f(k,j) = f(k-1,j)-f(k,k)*f(k-1,k-j);
end
end
pcorr=diag(f)'; %提取偏相關函數
pcorr2=parcorr(x); %直接利用MATLAB工具箱計算偏相關函數
disp([pcorr(1),pcorr(2),pcorr(4),pcorr(4)]);
disp([pcorr2(2),pcorr2(3),pcorr2(4),pcorr2(5)])
% 利用公式和利用MATLAB工具箱計算的偏相關值基本一致
% 0.5430 0.1911 0.0057 0.0057
% 0.5431 0.1913 0.0694 0.0056
5 ARMA模型時間序列的建模與預報
步驟：
第一：首先進行模型的識別與定價，即要判斷是AR（p），MA(q)，還是ARMA（p，q）模型的類別，並估計階數p和q。其實這都是歸結到模型的定階問題。
第二：當定階后，就要對模型參數進行估計。
第三：定階與參數估計完成后，還有對模型進行檢驗，即要檢驗殘差是否為平穩白噪聲。若檢驗獲得通過，則ARMA模型建模完成。
第四：作為時間序列建模后的一個重要應用，還要討論ARMA模型的時間序列的預報。
6 MATLAB中的GARCH工具箱可以實現時間序列建模的功能。工具箱中的模型ARMAX（R，M，Nx）為ARMA模型函數。下面通過一些實例來進行建模的演示。
7 MATLAB中arima模型和arimax模型的區別
一元時間序列模型：arma和arima，具有差分和不差分的區別
多元時間序列模型：arimax，時間序列一維以上的不同時間序列，在先生生活中預測往往受很多因素的影響。
7.1 arima模型的參數說明：
7.1.1 如果差分為0的話就是arma模型。
7.1.2 創建
模式1：Md1 = arima % 創建一個0級別的ARIMA模型，也就是arima(0,0,0)
模式2：Md1 = arima(p,D,q) % 創建一個非季節性的線性時間序列模型，其中p為AR模型的階數，D為幾階差分，q為MA模型的階數
模式3：Md1 = arima(Name,Value) % 創建一個線性時間序列模型，采用增加額外選項、值的方式。Name是可選項，Value為選項的值。Name必須用(' ')這種內部引用方式。對應的格式可以是Name1,Value,Name2,Value2.....
7.1.3 創建方法：
方法一：如果直接輸入采用模式2的形式Md1 = arima(p,D,q)的方式；Md1 = arima(1,1,1) % 表示一階差分的AR1,MA1模型。但是這個模型沒有任何的參數。是屬於首先建立整個模型的結構框架的形式：
因此：輸出的也是一個對象引用的內容：
Md1 =
ARIMA(1,1,1) Model:
--------------------
Distribution: Name = 'Gaussian'
P: 2
D: 1
Q: 1
Constant: NaN
AR: {NaN} at Lags [1]
SAR: {}
MA: {NaN} at Lags [1]
SMA: {}
Variance: NaN
方法二：對應Name-Value的變量輸入方式。其實這些Name和Value的鍵和值也是這個對象里面的內容。因此這里把所有的鍵和值列出來。進行解釋一下。
鍵：'AR'
解釋：非季節自回歸的參數。默認為空NaNs
鍵：'ARLags'
解釋：與AR系數相關的正整數滯后向量。默認為1,2
鍵：'Beta'
解釋：與AR系數相關的正整數滯后向量。默認[ ]；非回歸系數回歸內容
鍵：'Constant'
解釋：線性時間序列中的標量常數，也就是常數項。默認NaN；
鍵：'D'
解釋：非負整數表示的非季節性差分滯后算子多項式的次數（非季節性的一體化程度）在線性時間序列。默認0；
鍵：'Distribution'
解釋：創新過程的條件概率分布。分布是“高斯”或“T”。或者，將其指定為具有字段名稱的數據結構，以存儲分布“高斯”或“T”。如果分布是“t”，則結構也需要字段自由度來存儲自由度。默認高斯分布；
鍵：'MA'
解釋：非季節性移動平均系數對應於可逆多項式細胞載體。當未指定malags，馬是一種細胞載體的系數在滯后1，…對非季節性移動平均多項式的次數。當指定的MALags，馬是一個相當長的細胞載體與MALags的滯后相關系數。默認NaN；
鍵：'MALags'
解釋：與MA系數相關的正整數滯后向量。默認0；
鍵：'SAR'
解釋：季節AR模型。
鍵：'SARLags'
解釋：。
鍵：'SMA'
解釋：。
鍵：'SMALags'
解釋：。
鍵：'Seasonality'
解釋：
線性時間序列模型中季節性差分滯后算子多項式的非負整數。默認為0；
鍵：'Variance'
解釋：模型創新的正標量方差，或支持的條件方差模型對象（例如，GARCH模型對象）。
7.1.4 建模舉例：
比如有這么一個模型ARIMA(2,1,1)
表達式如下：
對應的MATLAB建模公式如下：
tdist = struct('Name','t','DoF',10);
model = arima('Constant',0.4,'AR',{0.8,-0.3},'MA',0.5,'D',1,'Distribution',tdist,'Variance',0.15)
對應對象里面的內容如下：
model =
ARIMA(2,1,1) Model:
--------------------
Distribution: Name = 't', DoF = 10
P: 3
D: 1
Q: 1
Constant: 0.4
AR: {0.8 -0.3} at Lags [1 2]
SAR: {}
MA: {0.5} at Lags [1]
SMA: {}
Variance: 0.15
解釋：Constant：對應的是常數項：0.4
AR：對應的是AR模型的滯后項的參數：0.8 -0.3
MA：對應的是MA模型的參數：0.5
D：為一階差分形式
Distribution：tdist，如果加上分布，這里用一個結構體來說明，這里指的是t分布，有10個自由度。也可以不加這個分布，默認為高斯分布。
Variance：指的是常數項的方差是0.5，在有些教材中一般都是在公式下面打一個小括號，對應每一個參數的表示方差(0.5)
8 其他相關配套函數
| estimate | Estimate ARIMA or ARIMAX model parameters |
| filter | Filter disturbances using ARIMA or ARIMAX model |
| forecast | Forecast ARIMA or ARIMAX process |
| impulse | Impulse response function |
| infer | Infer ARIMA or ARIMAX model residuals or conditional variances |
| Display parameter estimation results for ARIMA or ARIMAX models | |
| simulate | Monte Carlo simulation of ARIMA or ARIMAX models |
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