9-1 使用斐波那契數列引入了動態規划的概念
一、計算斐波那契數列的第 \(n\) 項數值
1、斐波那契數列的定義
斐波那契數列是通過"遞歸"定義的，通過這個遞歸關系式，我們可以知道斐波那契數列中任意一個位置的數值。
2、第 1 版 Python 代碼實現：使用斐波那契數列的定義式子遞歸實現
很容易地，我們能寫出下面的代碼：
def fib(n):
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return 1
return fib(n - 1) + fib(n - 2)
說明：
-
代碼本身用於計算是沒有問題的，但是仔細研究，我們就會發現，我們雖然使用遞歸實現了斐波那契數列在任意位置的值的計算，但是，如果要我們自己計算的話，肯定不會這樣計算，因為太耗時了。
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耗時的原因在於，在上述的遞歸實現中，存在大量的重復計算，例如：
要計算 fib(4)，就得計算 fib(3) 和 fib(2)，
要計算 fib(3)，就得計算 fib(2) 和 fib(1)，
此時 fib(2) 就被重復計算了，下面是一張圖，展示了部分重復計算的過程。
- 要解決上一步的問題，就要避免重復計算，我們可以引入一個 memo 數組，用於存入已經計算過一次的 fib 的值，下一次需要這個值的時候，再從中取，下面是代碼實現。
3、第 2 版 Python 代碼實現：加入了記憶化搜索，即使用了緩存數組，以避免重復計算
memo = None
def _fib(n):
if memo[n] != -1:
return memo[n]
if n == 0:
return 0
if n == 1:
return 1
memo[n] = _fib(n - 1) + _fib(n - 2)
return memo[n]
def fib(n):
global memo
memo = [-1] * (n + 1)
return _fib(n)
4、第 3 版 Python 代碼實現：雖然很簡單，但是我們就可以稱之為“動態規划”的解法
這個版本是最接近我們自己去計算斐波那契數列的第 \(n\) 項。想一想的確是這樣，聰明的你一定不會遞歸去計算波那契數列的，因為我們的腦容量是有限，不太適合做太深的遞歸思考，雖然計算機在行遞歸，但是我們也沒有必要讓計算機做重復的遞歸工作。
def fib(n):
memo = [-1] * (n + 1)
memo[0] = 0
memo[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
memo[i] = memo[i - 1] + memo[i - 2]
return memo[n]
二、什么是“記憶化搜索”
針對一個遞歸問題，如果它呈樹形結構，並且出現了很多”重疊子問題”，會導致計算效率低下，“記憶化搜索”就是針對”重疊子問題”的一個解決方案，實際上就是”加緩存避免重復計算”。
三、什么是“動態規划”
（1）比較“記憶化搜索”與“動態規划”
由上面的介紹我們就可以引出動態規划的概念：
- "記憶化搜索"或者我們稱"重疊子問題"的加緩存優化的實現，我們的思考路徑是"自頂向下"。即為了解決數據規模大的問題，我們“假設”已經解決了數據規模較小的子問題。
- “動態規划”就是上述"循環版本"的實現，我們思考問題路徑是"自下而上"。實際上，我們是先“真正地”解決了數據規模較小的問題，然后一步一步地解決了數據規模較大的問題。
（2）“動態規划”的官方定義
下面我們給出“動態規划”的官方定義：
dynamic programming (also known as dynamic optimization) is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions – ideally, using a memory-based data structure.
將原問題拆解成若干子問題，同時保存子問題的答案，使得每個子問題只求解一次，最終獲得原問題的答案。
（3）針對“動態規划”問題的一般思考路徑
我們通常的做法是：使用記憶化搜索的思路思考原問題，但是使用動態規划的方法來實現。即“從上到下”思考，但是“從下到上”實現。
四、總結
對於一個遞歸結構的問題，如果我們在分析它的過程中，發現了它有很多“重疊子問題”，雖然並不影響結果的正確性，但是我們認為大量的重復計算是不環保，不簡潔，不優雅，不高效的，因此，我們必須將“重疊子問題”進行優化，優化的方法就是“加入緩存”，“加入緩存”的一個學術上的叫法就是“記憶化搜索”。
另外，我們還發現，直接分析遞歸結構，是假設更小的子問題已經解決給出的實現，思考的路徑是“自頂向下”。但有的時候，“自底向上”的思考路徑往往更直接，這就是“動態規划”，我們是真正地解決了更小規模的問題，在處理更大規模的問題的時候，直接使用了更小規模問題的結果。