【機器學習】多項式回歸

注：在上一篇的一般線性回歸中，使用的假設函數是一元一次方程，也就是二維平面上的一條直線。但是很多時候可能會遇到直線方程無法很好的擬合數據的情況，這個時候可以嘗試使用多項式回歸。多項式回歸中，加入了特征的更高次方（例如平方項或立方項），也相當於增加了模型的自由度，用來捕獲數據中非線性的變化。添加高階項的時候，也增加了模型的復雜度。隨着模型復雜度的升高，模型的容量以及擬合數據的能力增加，可以進一步降低訓練誤差，但導致過擬合的風險也隨之增加。

 

 

圖A，模型復雜度與訓練誤差及測試誤差之間的關系

 

0. 多項式回歸的一般形式

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在多項式回歸中，最重要的參數是最高次方的次數。設最高次方的次數為$n$，且只有一個特征時，其多項式回歸的方程為：

$$ \hat{h} = \theta_0 + \theta_1 x^1 + \ ... \  + \theta_{n-1} x^{n-1} +  \theta_n x^n $$

如果令$x_0 = 1$，在多樣本的情況下，可以寫成向量化的形式：

$$\hat{h} = X \cdot \theta$$

其中$X$是大小為$m \cdot (n+1)$的矩陣，$\theta$是大小為$(n+1) \cdot 1$的矩陣。在這里雖然只有一個特征$x$以及$x$的不同次方，但是也可以將$x$的高次方當做一個新特征。與多元回歸分析唯一不同的是，這些特征之間是高度相關的，而不是通常要求的那樣是相互對立的。

 在這里有個問題在剛開始學習線性回歸的時候困擾了自己很久：如果假設中出現了高階項，那么這個模型還是線性模型嗎？此時看待問題的角度不同，得到的結果也不同。如果把上面的假設看成是特征$x$的方程，那么該方程就是非線性方程；如果看成是參數$\theta$的方程，那么$x$的高階項都可以看做是對應$\theta$的參數，那么該方程就是線性方程。很明顯，在線性回歸中采用了后一種解釋方式。因此多項式回歸仍然是參數的線性模型。

 

1. 多項式回歸的實現

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下面主要使用了numpy、scipy、matplotlib和scikit-learn，所有使用到的函數的導入如下：

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

下是使用的數據是使用$y = x^2 + 2$並加入一些隨機誤差生成的，只取了10個數據點：

data = np.array([[ -2.95507616,  10.94533252],
       [ -0.44226119,   2.96705822],
       [ -2.13294087,   6.57336839],
       [  1.84990823,   5.44244467],
       [  0.35139795,   2.83533936],
       [ -1.77443098,   5.6800407 ],
       [ -1.8657203 ,   6.34470814],
       [  1.61526823,   4.77833358],
       [ -2.38043687,   8.51887713],
       [ -1.40513866,   4.18262786]])
m = data.shape[0]  # 樣本大小
X = data[:, 0].reshape(-1, 1)  # 將array轉換成矩陣
y = data[:, 1].reshape(-1, 1)
plt.plot(X, y, "b.")
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.show()

這些數據點plot出來，如下圖：

圖1-1，原始數據

1.1 直線方程擬合

下面先用直線方程擬合上面的數據點：

lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)
print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)  # [ 4.97857827] [[-0.92810463]]

X_plot = np.linspace(-3, 3, 1000).reshape(-1, 1)
y_plot = np.dot(X_plot, lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
plt.plot(X_plot, y_plot, 'r-')
plt.plot(X, y, 'b.')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.savefig('regu-2.png', dpi=200)

圖1-2，直線擬合的效果

可以使用函數"mean_squared_error"來計算誤差(使用前面介紹過的Mean squared error, MSE)：

h = np.dot(X.reshape(-1, 1), lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
print(mean_squared_error(h, y)) # 3.34

 

1.2 使用多項式方程

為了擬合2次方程，需要有特征$x^2$的數據，這里可以使用函數"PolynomialFeatures"來獲得：

poly_features = PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
X_poly = poly_features.fit_transform(X)
print(X_poly)

結果如下：

[[-2.95507616  8.73247511]
 [-0.44226119  0.19559496]
 [-2.13294087  4.54943675]
 [ 1.84990823  3.42216046]
 [ 0.35139795  0.12348052]
 [-1.77443098  3.1486053 ]
 [-1.8657203   3.48091224]
 [ 1.61526823  2.60909145]
 [-2.38043687  5.66647969]
 [-1.40513866  1.97441465]]

利用上面的數據做線性回歸分析：

lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_poly, y)
print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)  # [ 2.60996757] [[-0.12759678  0.9144504 ]]

X_plot = np.linspace(-3, 3, 1000).reshape(-1, 1)
X_plot_poly = poly_features.fit_transform(X_plot)
y_plot = np.dot(X_plot_poly, lin_reg.coef_.T) + lin_reg.intercept_
plt.plot(X_plot, y_plot, 'r-')
plt.plot(X, y, 'b.')
plt.show()

第3行得到了訓練后的參數，即多項式方程為$h = -0.13x + 0.91x^2 + 2.61$ （結果中系數的順序與$X$中特征的順序一致），如下圖所示：

圖1-3：2次多項式方程與原始數據的比較

利用多項式回歸，代價函數MSE的值下降到了0.07。通過觀察代碼，可以發現訓練多項式方程與直線方程唯一的差別是輸入的訓練集$X$的差別。在訓練直線方程時直接輸入了$X$的值，在訓練多項式方程的時候，還添加了我們計算出來的$x^2$這個“新特征”的值（由於$x^2$完全是由$x$的值確定的，因此嚴格意義上來講此時該模型只有一個特征$x$）。

此時有個非常有趣的問題：假如一開始得到的數據就是上面代碼中"X_poly"的樣子，且不知道$x_1$與$x_2$之間的關系。此時相當於我們有10個樣本，每個樣本具有$x_1, x_2$兩個不同的特征。這時假設函數為：$$\hat{h} = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2$$

直接按照二元線性回歸方程來訓練，也可以得到上面同樣的結果（$\theta$的值）。如果在相同情況下，收集到了新的數據，可以直接帶入上面的方程進行預測。唯一不同的是，我們不知道$x_2 = x_1^2$這個隱含在數據內部的關系，所有也就無法畫出圖1-3中的這條曲線。一旦了解到了這兩個特征之間的關系，數據的維度就從3維下降到了2維（包含截距項$\theta_0$）。

 

 2. 持續降低訓練誤差與過擬合

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在上面實現多項式回歸的過程中，通過引入高階項$x^2$，訓練誤差從3.34下降到了0.07，減小了將近50倍。那么訓練誤差是否還有進一步下降的空間呢？答案是肯定的，通過繼續增加更高階的項，訓練誤差可以進一步降低。通過嘗試，當最高階項為$x^{11}$時，訓練誤差為3.11e-23，幾乎等於0了。

下面是測試不同degree的過程：

# test different degree and return loss
def try_degree(degree, X, y):
    poly_features_d = PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False)
    X_poly_d = poly_features_d.fit_transform(X)
    lin_reg_d = LinearRegression()
    lin_reg_d.fit(X_poly_d, y)
    return {'X_poly': X_poly_d, 'intercept': lin_reg_d.intercept_, 'coef': lin_reg_d.coef_}

degree2loss_paras = []
for i in range(2, 20):
    paras = try_degree(i, X, y)
    h = np.dot(paras['X_poly'], paras['coef'].T) + paras['intercept']
    _loss = mean_squared_error(h, y)
    degree2loss_paras.append({'d': i, 'loss': _loss, 'coef': paras['coef'], 'intercept': paras['intercept']})

min_index = np.argmin(np.array([i['loss'] for i in degree2loss_paras]))
min_loss_para = degree2loss_paras[min_index]
print(min_loss_para)  # 
X_plot = np.linspace(-3, 1.9, 1000).reshape(-1, 1)
poly_features_d = PolynomialFeatures(degree=min_loss_para['d'], include_bias=False)
X_plot_poly = poly_features_d.fit_transform(X_plot)
y_plot = np.dot(X_plot_poly, min_loss_para['coef'].T) + min_loss_para['intercept']
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
ax.plot(X_plot, y_plot, 'r-', label='degree=11')
ax.plot(X, y, 'b.', label='X')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.savefig('regu-4-overfitting.png', dpi=200)

輸出為：

{'coef': array([[  0.7900162 ,  26.72083627,   4.33062978,  -7.65908434,
          24.62696711,  12.33754429, -15.72302536,  -9.54076366,
           1.42221981,   1.74521649,   0.27877112]]),
 'd': 11,
 'intercept': array([-0.95562816]),
 'loss': 3.1080267005676934e-23}

畫出的函數圖像如下：

圖2-1：degree=11時的函數圖像

由圖2-1可以看到，此時函數圖像穿過了每一個樣本點，所有的訓練樣本都落在了擬合的曲線上，訓練誤差接近與0。 可以說是近乎完美的模型了。但是，這樣的曲線與我們最開始數據的來源（一個二次方程加上一些隨機誤差）差異非常大。如果從相同來源再取一些樣本點，使用該模型預測會出現非常大的誤差。類似這種訓練誤差非常小，但是新數據點的測試誤差非常大的情況，就叫做模型的過擬合。過擬合出現時，表示模型過於復雜，過多考慮了當前樣本的特殊情況以及噪音（模型學習到了當前訓練樣本非全局的特性），使得模型的泛化能力下降。

出現過擬合一般有以下幾種解決方式：

• 降低模型復雜度，例如減小上面例子中的degree；
• 降維，減小特征的數量；
• 增加訓練樣本；
• 添加正則化項.

防止模型過擬合是機器學習領域里最重要的問題之一。鑒於該問題的普遍性和重要性，在滿足要求的情況下，能選擇簡單模型時應該盡量選擇簡單的模型。

 

Reference

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http://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html

Géron A. Hands-on machine learning with Scikit-Learn and TensorFlow: concepts, tools, and techniques to build intelligent systems[M]. " O'Reilly Media, Inc.", 2017. github

https://www.arxiv-vanity.com/papers/1803.09820/