前言：
首先，什么是凸包？
假設平面上有p0~p12共13個點，過某些點作一個多邊形，使這個多邊形能把所有點都“包”起來。當這個多邊形是凸多邊形的時候，我們就叫它“凸包”。如下圖： 
然后，什么是凸包問題？
我們把這些點放在二維坐標系里面，那么每個點都能用 (x,y) 來表示。
現給出點的數目13，和各個點的坐標。求構成凸包的點？
解一：窮舉法（蠻力法）
時間復雜度：O(n³）。
思路：兩點確定一條直線，如果剩余的其它點都在這條直線的同一側，則這兩個點是凸包上的點，否則就不是。
步驟：
- 將點集里面的所有點兩兩配對，組成 n(n-1)/2 條直線。
- 對於每條直線，再檢查剩余的 (n-2) 個點是否在直線的同一側。
如何判斷一個點 p3 是在直線 p1p2 的左邊還是右邊呢？（坐標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
當上式結果為正時，p3在直線 p1p2 的左側；當結果為負時，p3在直線 p1p2 的右邊。
解二：分治法
時間復雜度：O(n㏒n)。
思路：應用分治法思想，把一個大問題分成幾個結構相同的子問題，把子問題再分成幾個更小的子問題……。然后我們就能用遞歸的方法，分別求這些子問題的解。最后把每個子問題的解“組裝”成原來大問題的解。
步驟：
- 把所有的點都放在二維坐標系里面。那么橫坐標最小和最大的兩個點 P1 和 Pn 一定是凸包上的點（為什么呢？用反證法很容易證明，這里不詳講）。直線 P1Pn 把點集分成了兩部分，即 X 軸上面和下面兩部分，分別叫做上包和下包。
- 對上包：求距離直線 P1Pn 最遠的點，即下圖中的點 Pmax 。
- 作直線 P1Pmax 、PnPmax，把直線 P1Pmax 左側的點當成是上包，把直線 PnPmax 右側的點也當成是上包。
- 重復步驟 2、3。
- 對下包也作類似操作。
然而怎么求距離某直線最遠的點呢？我們還是用到解一中的公式：
設有一個點 P3 和直線 P1P2 。（坐標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
對上式的結果取絕對值，絕對值越大，則距離直線越遠。
注意：在步驟一，如果橫坐標最小的點不止一個，那么這幾個點都是凸包上的點，此時上包和下包的划分就有點不同了，需要注意。
解三：Jarvis步進法
時間復雜度：O(nH)。（其中 n 是點的總個數，H 是凸包上的點的個數）
思路：
- 縱坐標最小的那個點一定是凸包上的點，例如圖上的 P0。
- 從 P0 開始，按逆時針的方向，逐個找凸包上的點，每前進一步找到一個點，所以叫作步進法。
- 怎么找下一個點呢？利用夾角。假設現在已經找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一個點：剩下的點分別和 P2 組成向量，設這個向量與向量P1P2的夾角為 β 。當 β 最小時就是所要求的下一個點了，此處為 P3 。
注意：
- 找第二個點 P1 時，因為已經找到的只有 P0 一個點，所以向量只能和水平線作夾角 α，當 α 最小時求得第二個點。
- 共線情況：如果直線 P2P3 上還有一個點 P4，即三個點共線，此時由向量P2P3 和向量P2P4 產生的兩個 β 是相同的。我們應該把 P3、P4 都當做凸包上的點，並且把距離 P2 最遠的那個點（即圖中的P4）作為最后搜索到的點，繼續找它的下一個連接點。
解四：Graham掃描法
時間復雜度：O(n㏒n)
思路：Graham掃描的思想和Jarris步進法類似，也是先找到凸包上的一個點，然后從那個點開始按逆時針方向逐個找凸包上的點，但它不是利用夾角。 
步驟：
- 把所有點放在二維坐標系中，則縱坐標最小的點一定是凸包上的點，如圖中的P0。
- 把所有點的坐標平移一下，使 P0 作為原點，如上圖。
- 計算各個點相對於 P0 的幅角 α ，按從小到大的順序對各個點排序。當 α 相同時，距離 P0 比較近的排在前面。例如上圖得到的結果為 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我們由幾何知識可以知道，結果中第一個點 P1 和最后一個點 P8 一定是凸包上的點。
（以上是准備步驟，以下開始求凸包）
以上，我們已經知道了凸包上的第一個點 P0 和第二個點 P1，我們把它們放在棧里面。現在從步驟3求得的那個結果里，把 P1 后面的那個點拿出來做當前點，即 P2 。接下來開始找第三個點： - 連接 棧最上面的連個元素（即P0和棧頂）的那個點，得到直線 L 。看當前點是在直線 L 的右邊還是左邊。如果在直線的右邊就執行步驟5；如果在直線上，或者在直線的左邊就執行步驟6。
- 如果在右邊，則棧頂的那個元素不是凸包上的點，把棧頂元素出棧。執行步驟4。
- 當前點是凸包上的點，把它壓入棧，執行步驟7。
- 檢查當前的點 P2 是不是步驟3那個結果的最后一個元素。是最后一個元素的話就結束。如果不是的話就把 P2 后面那個點做當前點，返回步驟4。
最后，棧中的元素就是凸包上的點了。
以下為用Graham掃描法動態求解的過程： 
解五：Melkman算法
說真的，這個算法我也還沒有看清。網上的資料也少的可憐，我暫且把網上的解釋截個圖在這里，往后搞懂以后再回來補上。
或者有人看懂了的，希望不吝指教，不甚感激！
擴展：
以上討論的只是二維的凸包，如果延生為三維、多維的凸包問題呢？如何求解？
不過首先，二維凸包可以用來解決圍欄問題、城市規划問題、聚類分析等等。但是三維、多維的凸包可能的使用范疇有哪些？
分治法實現代碼：
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> int g_result[240][2]; /*getResult()實現功能：以坐標P0(x1,y1)和Pn(x2,y2)為直線，找出pack里面里這條直線最遠的點Pmax *並找出直線P0Pmax和PmaxPn的上包，進行遞歸。 *注：Pack[0][0]存放點的個數，pack[1]開始存放點的坐標。 *全局變量g_result[][]用來存放凸包上的點，即最終所要的答案。同樣g_result[0][0]存放的是已找到的點的個數。 **/ void getResult(int Pack[240][2], int x1, int y1, int x2, int y2) { int i,t,x3,y3,R,Rmax,tmax; int ResultPack[240][2]; ResultPack[0][0] = 0; if(Pack[0][0] <= 1) return; x3 = Pack[1][0]; y3 = Pack[1][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; Rmax = R; tmax = 1; for(i=2;i<=Pack[0][0];i++) { x3 = Pack[i][0]; y3 = Pack[i][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; if(R >= 0) { t = ++ResultPack[0][0]; ResultPack[t][0] = x3; ResultPack[t][1] = y3; } if(R > Rmax) { Rmax = R; tmax = i; } } if(Rmax <= 0) { for(i=1;i<ResultPack[0][0];i++) { x3 = ResultPack[i][0]; y3 = ResultPack[i][1]; R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3; if(R == 0 && !((x3==x2&&y3==y2)||(x3==x1&&y3==y1))) { t = ++g_result[0][0]; g_result[t][0] = ResultPack[i][0]; g_result[t][1] = ResultPack[i][1]; } } return; } else { t = ++g_result[0][0]; g_result[t][0] = Pack[tmax][0]; g_result[t][1] = Pack[tmax][1]; if(ResultPack[0][0] == 0) return; } getResult(ResultPack,x1,y1,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1]); getResult(ResultPack,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1],x2,y2); } void main() { int Point[240][2];//Point存所有點。 int i=1; int x1,y1,x2,y2,x3,y3; g_result[0][0]=0;Point[0][0]=0;//Point的第一行第一列元素存放包里面有幾個點。初始化為0。 printf("請輸入所有點的坐標：\n"); while(scanf("%d,%d",&Point[i][0],&Point[i][1]) != EOF) i++; Point[0][0] = i-1; x1 = Point[1][0]; y1 = Point[1][1]; x2 = x1; y2 = y1; for(i=2;i<=Point[0][0];i++) { x3 = Point[i][0]; y3 = Point[i][1]; if(x3 < x1) { x1 = x3; y1 = y3; } else if(x3 > x2) { x2 = x3; y2 = y3; } } g_result[1][0] = x1; g_result[1][1] = y1; g_result[2][0] = x2; g_result[2][1] = y2; g_result[0][0] += 2; getResult(Point, x1, y1, x2, y2); getResult(Point, x2, y2, x1, y1); printf("\n\n構成凸包的點有：\n"); for(i=1;i<=g_result[0][0];i++) printf("(%d,%d)\n",g_result[i][0],g_result[i][1]); system("pause"); }
Graham掃描法實現代碼：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; struct node { int x,y; }; node vex[1000];//存入的所有的點 node stackk[1000];//凸包中所有的點 int xx,yy; bool cmp1(node a,node b)//排序找第一個點 { if(a.y==b.y) return a.x<b.x; else return a.y<b.y; } double cross(node a,node b,node c)//計算叉積 判斷bc向量到ac向量 是否通過左轉得到 >0左轉 <0右轉 =0共線 { return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y); } double dis(node a,node b)//計算距離 { return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } bool cmp2(node a,node b)//極角排序另一種方法，速度快 { if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx)) return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx)); return a.x<b.x; } bool cmp(node a,node b)//極角排序 { int m=cross(vex[0],a,b); if(m>0) return 1; else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0) //共線 也讀入凸包 return 1; else return 0; } int main() { int t,L; int i; t=7; vex[0].x=1,vex[0].y=0; vex[1].x=-1,vex[1].y=1; vex[2].x=2,vex[2].y=0; vex[3].x=0,vex[3].y=0; vex[4].x=-1,vex[4].y=-1; vex[5].x=1,vex[5].y=-1; vex[6].x=-2,vex[6].y=-0; //可以用while讀 更改 memset(stackk,0,sizeof(stackk)); sort(vex,vex+t,cmp1);//最左下角的點 stackk[0]=vex[0]; //第一個凸包點 sort(vex+1,vex+t,cmp);//cmp2是更快的，cmp更容易理解 極角排序 stackk[1]=vex[1];//將第2個點存入凸包的結構體中 int top=1;//最后凸包中擁有點的個數 實際為2 for(i=2; i<t; i++) { while(cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0){ //是否滿足叉乘大於0 不滿足出棧 控制<0或<=0可以控制重點，共線 top--; } stackk[++top]=vex[i]; //滿足的入棧 } for(i=0; i<=top; i++) cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl; }