判斷一棵樹是否是二叉搜索樹

前兩天寫過一篇博文《二叉搜索樹基本操作實現》，為了更深入了解二叉搜索樹的性質，本文實現判斷一棵樹是否為二叉搜索樹算法。

 

二叉搜索樹的性質：

任意節點的鍵值一定大於其左子樹中的每一個節點的鍵值，並小於其右子樹中的每一個節點的鍵值。

構造二叉樹的節點定義為：

struct TreeNode{
    int data;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
};

方法1 (錯誤)

對每一個節點，檢測其值是否大於左子樹節點，是否小於右子樹節點。思路很簡單，代碼實現如下：

bool isBST(TreeNode* root)
{
    if (root == NULL)
        return true;
    if (root->left != NULL && root->left->data> root->data)
        return false;
    if (root->right != NULL && root->right->data < root->data)
        return false;
    if (!isBST(root->left) || !isBST(root->right))
        return false;
    return true;
}

但是，這種方法是錯誤的，如下面例子，節點4大於根節點3，但上面函數檢測這棵樹是BST。

               3

            /      \

          2         5

       /     \

    1         4

方法2 

對每個節點，檢測其值是否大於左子樹的最大值，是否小於右子樹的最小值。思路正確，但效率較低，代碼實現如下：

int maxValue(TreeNode *root)
{
    int max = root->data;
    if(root->left != NULL)
    {
        int maxLeft = maxValue(root->left);
        max = max > maxLeft ? max : maxLeft;
    }
    if(root->right != NULL)
    {
        int maxRight = maxValue(root->right);
        max = max > maxRight ? max : maxRight;
    }
    return max;
}

int minValue(TreeNode *root)
{
    int min = root->data;
    if(root->left != NULL)
    {
        int minLeft = maxValue(root->left);
        min = min > minLeft ? min : minLeft;
    }
    if(root->right != NULL)
    {
        int minRight = maxValue(root->right);
        min = min > minRight ? min : min;
    }
    return min;
}

bool isBST(TreeNode *root)
{
    if(root == NULL)
        return true;
    if(root->left != NULL && maxValue(root->left) > root->data)
        return false;
    if(root->right != NULL && minValue(root->right) < root->data)
        return false;
    return isBST(root->left) && isBST(root->right);
}

其中，maxValue及minValue函數，分別返回一棵非空二叉樹的最大值和最小值。 

方法3

方法2需要重復遍歷樹中的部分數據，故效率較低，如果只需每個節點遍歷一次，那么效率將大大提高。方法3的巧妙之處在於限定了子樹節點的值得范圍，從而每個節點只需遍歷一次。節點值的初始范圍可限定為TNT_MIN以及TNT_MAX。代碼實現如下：

bool isBSTUtil(TreeNode *root, int min, int max)
{
    if(root == NULL)
        return true;
    if(root->data < min || root->data > max)
        return false;
    return isBSTUtil(root->left, min, root->data - 1) && isBSTUtil(root->right, root->data + 1, max);
}

bool isBST(TreeNode *root)
{
    return isBST02(root, INT_MIN, INT_MAX);
}

方法4

使用中序遍歷的方法實現：

1）對樹進行中序遍歷，將結果保存在temp數組中；

2）檢測temp數組是否為升序排列，如果是，則為BST，反之則不是。

此方法還可以進一步的優化，不用temp數組，避免使用額外的內存開銷。在中序遍歷時使用靜態變量保存前驅節點，如果當前節點小於前驅節點，則該樹不是BST。代碼實現如下：

//中序遍歷的方法實現
bool isBST(TreeNode *root)
{
    static TreeNode *prev;
    if(root != NULL)
    {
        if(!isBST(root->left))
            return false;
        if(prev != NULL && root->data < prev->data)
            return false;
        prev = root;
        if(!isBST(root->right))
            return false;
    }
    return true;
}

二叉搜索樹的判斷是一個重要的算法，個人認為該算法的實現在考研或找工作中都非常重要，從這個算法可以考核到對二叉樹特別是二叉搜索樹的特性的了解。所以掌握好這個算法的思想和實現時非常必要的。

 

本文參考於https://www.2cto.com/kf/201506/408372.html，只是在其基礎上加上自己的一些見解，謝謝原作者。