卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測量(英文:measurement)中，估計動態系統的狀態，然而簡單的卡爾曼濾波必須應用在符合高斯分布的系統中。
百度百科是這樣說的，也就是說卡爾曼濾波第一是遞歸濾波，其次KF用於線性系統。
但經過研究和改進，出現了很多卡爾曼，如EKF（extended kalman filter）擴展卡爾曼，UKF（Unscented Kalman Filter）無跡卡爾曼等等。
而我們就來研究EKF，而EKF的中心思想就是將非線性系統線形化后再做KF處理。
狀態方程
當我們從最簡單的系統開始，我們假定k時刻的系統狀態與k-1時刻有關，於是我們可以得到方程：
其中a為常量，但是當系統內部有噪聲，我們稱為過程噪聲 ，計為w。所以方程可以寫成：
而我們實際觀測的時候會出現觀測噪聲，於是我們將觀測值計為Z，觀測噪聲為v，那我們可以把k時刻的觀測值與系統狀態值寫成方程：
於是最簡單的系統狀態方程就有啦。
卡爾曼濾波算法核心思想在於預測+測量反饋，它由兩部分組成，第一部分是 線性系統狀態預測方程，第二部分是 線性系統觀測方程。
這里系統的預測時候，我們要將通過系統狀態方程計算的預測值作為先驗信息，之后在觀測部分在重新更新這個信息。
回頭說狀態的預測，我們引入一個符號 ^在相應的變量上表示該變量是預計值。再說一個新概念：新息。一個時間序列{X(t)}里，根據歷史數據的預測值，新息是真實值減去預測值。
注：上有波浪線表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是預測值；無標注為真實值
我們給出一個優化過的預測值，新預測值 = 上一輪預測值（先驗） + 權重 × 新息，即：
那下一個問題就是權重g是怎么計算得出的呢？答案是間接的從噪聲里求得的。當我們將估計協方差叫做p，而傳感器的協方差為r，我們通過這兩個值計算權重。
既然獲得了g，我們下一步將先驗信息輸入到上面的兩個方程中獲得后驗預測值，也就是我們的輸出值。
那整個計算步驟和過程就應該是這樣的：
先預測后更新。具體計算過程和曲線生成可以參考levys教程的Part7。
之后我們再說更復雜一點的系統，系統地狀態方程引入了輸入量U。換句話說有一個U會時刻影響系統狀態量。
而觀測到的觀測值為
那我們新的計算方法就需要引入這兩個新的變量，
同樣是預測，更新，預測下一時刻，更新的計算方式。
而當系統用矩陣的方式寫的狀態方程，就需要以矩陣的方式計算。相同的數學公式及計算方法。如P的計算，
又如G，
還有P的更新，
這樣的話，我們的系統方程及計算步驟方式如下
需要注意的是我們使用的R是對測量誤差v的協方差，當我們在引入一個Q代表過程噪聲引起的誤差時，可以使系統表現更好，即使Q很小，
那如果系統是非線性的呢？我們如果將觀測值Z計做X的非線性函數組成的，我們的模型可以改成。
而我們的中心思想是將其線性化，如果我們使用函數一階導為C來計算G和P。
最后系統復雜到這樣的程度，
那我們就引入雅科比矩陣，雅各比矩陣就是方程矩陣對每一個變量的偏導數。
則在向量分析中，雅可比矩陣Jacobian matrix是該函數的所有分量（ 
個）對向量 
的所有分量（ 
個）的一階偏導數組成的矩陣。
函數有 
個分量，於是有 行。向量 有 
個分量，於是有 列。
而最終，F為f方程的雅可比，H為h方程的雅可比。最終計算如下：
到這里簡單的EKF就已經完成基本介紹啦。
有興趣的可以去github上看levys的matlab代碼，鏈接在下。
參考資料：
筆記參考：A0402272018
levys教程：
http://home.wlu.edu/~levys/kalman_tutorial/
levys源碼:
https://github.com/simondlevy/SensorFusion
卡爾曼濾波(KF)與擴展卡爾曼濾波(EKF)的一種理解思路及相應推導