第二類斯特林數總結
標簽： 第二類斯特林數
最近做題的時候遇到了一些跟第二類斯特林數有關的東西，發現網上的資料不是很多，於是寫一篇博客來總結一下。
第二類斯特林數
定義
第二類斯特林數\(S(n,m)\)表示的是把n個不同的小球放在m個相同的盒子里方案數。
upd:為了看得清楚，有時候我們也用\(\begin {Bmatrix} n \\ m\end {Bmatrix}\)來表示\(S(n,m)\)
求法
一般有兩種求法。
遞推：
\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m)\)
即討論第一個球是否單獨在一個盒子里面。
如果不獨占一盒，那么把這個球放進任一個盒子，這個盒子就相當於與其他的盒子不同，那么在乘答案的時候就要多乘一個m.
容斥原理:
\[S(n,m)={\frac 1 {m!}}\sum_{k=0}^m (-1)^k C(m,k)(m-k)^n \]
即枚舉空盒的個數，剩下的隨意放置，由於盒子是相同的最后要除以\(m!\)
注意到這個式子是一個卷積，所以可以在\(O(nlogn)\)內求出\(S(n,0),S(n,1)......\)
性質
只有一個公式
\[n^k=\sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C(n,i) \]
很好理解，左邊就是k個球可以任意放置在n個盒子里。
右邊就是枚舉非空盒子的數量i，那么把k個球放在i個盒子（盒子不同，需要乘上一個i!）里面再乘上選出i個非空盒子的方案數。
有了這個東西，我們可以很方便的維護一些東西。
組合等式推導
upd:感覺以前寫的菜爆了。。。。更新一點吧
上面的性質與求法都是基於組合意義而來的，接下來我們采用一個具有組合意義的等式，將其通過一些變換得到上面的等式。
\[n^m=\sum_{k=0}^m \begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix} n^{\underline k} \]
\(x^{\underline k}\)是\(x\)的\(k\)次下降冪，就是\(x \times (x-1) \times(x-2)....\times(x-k+1)\)
(其實就是上面的性質啦)
當然准確來說這個式子才是定義式，因為這個式子具有清晰的組合意義。
這個式子可以方便的得到遞推式：
\[\sum_{k=0}^m \begin{Bmatrix} m\\k\end{Bmatrix} n^{\underline k}= \sum_{k=1}^{m} \begin{Bmatrix} m-1\\k-1\end{Bmatrix} n^{\underline {k}} +\sum_{k=1}^{m} k\begin{Bmatrix} m-1\\k\end{Bmatrix} n^{\underline {k}} =\\ \sum_{k=0}^{m-1} \begin{Bmatrix} m-1\\k\end{Bmatrix} n^{\underline {k+1}} +\sum_{k=1}^{m} k\begin{Bmatrix} m-1\\k\end{Bmatrix} n^{\underline {k}} =(n-k+k)n^{m-1}=n^m\]
當然這個步驟寫的不太嚴謹，如果把上面的式子倒過來就是正確的證明步驟，但是這樣推就不太好想（不過我們已經知道了結論就隨便了）。
好像還有一個等式？
\[\begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix}={\frac 1 {k!}}\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom {k} {i} i^m \]
再來審視一下之前的定義式。
\[k^m=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix} m \\i \end{Bmatrix} i! \binom{k}{i} \]
我們把\(m\)看作常量，令\(f_i=i^m,g_i=\begin{Bmatrix} m \\i \end{Bmatrix} i!\)。
那么\(\binom{k}{i}\)相當於從\(g_i\)到\(f_k\)的一個轉移矩陣
直接二項式反演，得
\[\begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix} k!=\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} \binom {k} {i}i^m \]
再把\(k!\)移過去就得到最初的式子了。
斯特林反演
對第二類斯特林數的反演。
\[q_n=\sum_{i=1}^{n}\begin{Bmatrix}n \\ i\end{Bmatrix}p_i \Leftrightarrow p_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n \\ i\end{bmatrix}q_i \]
其中\(\begin{bmatrix} n\\ m\end{bmatrix}\)是第一類斯特林數，也可以寫作\(s(n,m)\)，在不作特殊的說明情況的下（即\(s_s(n,m)\)代表有符號的第一類斯特林數），本文中寫到的均為無符號的第一類斯特林數。
在這里，我們只需要知道\(s(n,m)\)的生成函數。
\[x^{\underline m}=\sum_{k=0}^m (-1)^{m-k}\begin{bmatrix} m\\k\end{bmatrix} x^k\quad [1] \\x^{\overline m}=\sum_{k=0}^m \begin{bmatrix} m\\k\end{bmatrix} x^k \]
其實這差不多就是有符號和無符號的區別，一個是下降冪，一個是上升冪。
我們發現，這個式子與上面第二類斯特林數的定義式出奇的像。
\[x^m=\sum_{k=0}^m \begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix} x^{\underline k} \quad [2] \]
將\([1]\)式帶入\([2]\)中，得
\[x^m=\sum_{k=0}^m \begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix} \sum_{l=0}^k (-1)^{k-l}\begin{bmatrix} k\\l\end{bmatrix} x^l \\ =\sum_{l=0}^m x^l \sum_{k=l}^m (-1)^{k-l}\begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix}\begin{bmatrix} k\\l\end{bmatrix}\]
顯然得到等式
\[[l=m]=\sum_{k=l}^m (-1)^{k-l}\begin{Bmatrix} m \\k \end{Bmatrix}\begin{bmatrix} k\\l\end{bmatrix} \]
接下來，我們將斯特林反演的兩式相互帶入，不難得出其等價與上式。
值得一提的是，我們令矩陣\(f_{i,j}=\begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix},g_{i,j}=(-1)^{i-j} \begin{bmatrix} i\\ j \end{bmatrix}\)
那么根據上面的式子，有\(FG=E\)，即矩陣\(F,G\)互逆。
