2017 CERC
Problem A:Assignment Algorithm
題目描述：按照規則安排在飛機上的座位。
solution
模擬。
時間復雜度：\(O(nm)\)
Problem B:Buffalo Barricades
題目描述：將二維平面划分為一個個單位格，在平面上有一些被標記的格子。將\(x,y\)軸當成是圍欄，現在以此給出一些坐標，每次從那個坐標出發向\(x, y\)軸建圍欄，並輸出新圍欄圍住的被標記格子數。
solution
待解決。
C:Cumulative Code
題目描述：給出一棵深度為\(K\)的滿二叉樹，逐層從左到右編號，然后寫出滿二叉樹的prufer code(假設為\(P\)序列)。prufer code：每次選擇一個編號最小的葉子節點，然后記錄它的鄰居編號，再把這個葉子節點刪去，重復操作，直至只剩下兩個節點。記錄下來的編號序列就是prufer code。現在有\(q\)個詢問，每次詢問有三個參數\(a, d, m\)，表示求\(P_a, P_{a+d}, ... , P_{a+(m-1)d}\)的和。
solution
將子樹分成兩類。
\(A\)：
這類子樹是先移除左子樹，再移除右子樹，最后移除根。
\(B\)：
這類子樹是先移除左子樹，再移除根，最后移除右子樹。
先分析\(A\)類子樹，\(B\)類子樹做法類似。
設\(f_x(k)\)，表示根為\(x\)的子樹深度為\(k\)(只有\(x\)時深度為\(1\))的prufer code和。則
\(f_x(1)=x/2\)
\(f_x(2)=2x+x/2\)
\(f_x(3)=10x+2+x/2\)
設\(f_x(k)=a_k \cdot x+ b_k + c_k \cdot (x/2)\)
則
\(f_x(k)=f_{2x}(k-1)+f_{2x+1}(k-1)+x/2\)
\(=a_{k-1} \cdot 2x +b_{k-1}+c_{k-1} \cdot x + a_{k-1}(2x+1) +b_{k-1}+c_{k-1} \cdot x +x/2\)
\(=(4a_{k-1}+2c_{k-1})x+(a_{k-1}+2b_{k-1}) + x/2\)
\(\therefore a_k=4a_{k-1}+2c_{k-1}, b_k=a_{k-1}+2b_{k-1}, c_k=1\)
設\(Q={a, a+d, ..., a+(m-1)d}\), \(next_{Q}(i)\)表示\(Q\)序列內大於等於\(i\)的最小編號。
設\(g_x(k, i)\)表示以\(x\)為根，深度為\(k\)的子樹，在對該子樹進行操作前已有\(i\)個prufer code(原樹的)，在\(Q\)中的\(P\)和。按照類似\(f_x(k)\)的記錄方式，同樣也可以如此記錄\(g_x(k, i)\)。則
\(g_x(k, i)=g_{2x}(k-1, i)+g_{2x+1}(k-1, i+2^{k-1}-1)+((i+2^k-1) \in Q) \cdot (x/2)\)
加快\(g\)的遞歸計算。
- 如果\([i+1, i+2^k-1]\)中沒有在\(Q\)中的編號，則直接返回
- 記憶化一些狀態：當\(k \leq K/2\)且\([i+1, i+2^k-1] \in [a, a+(m-1)d]\)時進行記憶化，記憶化的關鍵字為\((k, next_Q(i)-i)\)
由於有條件\(1\)，所以\(next_Q(i) \leq i+2^k-1\)，所以最多有\(2^{K/2}\)種狀態需要記憶化。
剩下還有幾種情況：
- \(B\)類樹，但\(B\)類樹最多計算\(K\)次
- 當\(k>K/2\)時，這里會調用\(2^K\)次。
- \([i+1, i+2^k-1]\)與\([a, a+(m-1)d]\)相交，但\([i+1, i+2^k-1]\)不在\([a, a+(m-1)d]\)內，這種情況最多有\(K\)次。
所以每個詢問的時間復雜度為\(O(2^{K/2})\)
時間復雜度：\(O(2^{K/2}q)\)
Problem D:Donut Drone
題目描述：有一個\(r \times c\)的網格，每個格子有一個整數。現在從第一列的指定一格出發，每次移動一步是這樣的：選擇右邊相鄰一列的相鄰三個格子（右上，右，右下）中整數最大的格子。第一列與第\(c\)列是相鄰的，第一行與第\(r\)行也是相鄰的。現在有兩種操作：1、移動\(k\)步，輸出移動后的坐標。2、修改某個格子的數字。
solution
預處理出\(jump[row]\)表示從第一列的第\(row\)行出發，移動\(c\)步回到第一列的第\(jump[row]\)行。這樣就可以\(O(1)\)移動\(c\)步，根據鴿巢原理，\(jump[row]\)是一個環，所以\(O(r)\)能完成任意步的移動。
問題在於操作2。通過觀察，可以得知第一列能走到\((x, y)\)的行是一個連續區間，而且修改某個格子的值只會影響左邊三個格子的走向，即另外形成三條路徑，這幾條路徑可以暴力跑一遍，然后暴力修改那個連續區間的\(jump[row]\)值。
時間復雜度：\(O(r+c)\)每次詢問。
Problem E:Embedding Enumeration
題目描述：給出一棵樹，有\(n\)個節點，\(1\)為樹根。現在要將這棵樹放在一個\(2 \times n\)的網格中，每個格子放一個節點，樹上相鄰的點要放在相鄰的格子，\(1\)號點要放在左上角的格子，問有多少種放置方法。
solution
首先可以確定這棵樹是一個二叉樹，否則無解。
\(f(x, delta)\)表示只剩下\(x\)的子樹（不含\(x\)）還沒放置，\(x\)放置的那一行放得比另一行長，長\(delta\)格的方案數。
現分情況討論：
- \(x\)沒有兒子，則找到一種可行方案。
- \(x\)有一個兒子\(y\)，
- \(y\)可以放在\(x\)的右邊，轉移狀態至\(f(y, delta+1)\);
- 也可以放在下面。
- 若\(y\)的一個兒子\(z\)要放在\(y\)的左邊，則\(z\)只能是一條長度不超過\(delta-1\)的鏈。
- 若\(y\)的一個兒子\(v\)放在\(y\)的右邊，則轉移狀態至\(f(v, 1)\)。
- \(x\)有兩個兒子\(y, u\)，\(y\)有一個兒子\(v\)放在\(y\)的右邊。這樣\(u, v\)的子樹都還沒有放置，也只能沿着自己所在那行一直延伸，直至某一行不能延伸，設另一行延伸到\(w\)，則轉移狀態至\(f(w, 1)\)
接下來就是想辦法把\(delta\)省掉，具體方法是注意如果將\(f(x, 2)\)視為\(f(x, 1)\)，會算漏什么。具體還沒實現。。。
時間復雜度：\(O(n)\)
Problem F:Faulty Factorial
題目描述：將\(n\)的階乘中的一個數\(x\)換成比它小的數\(y>0\)，使得換了之后的乘積模\(p\)(質數)等於\(r\)。
solution
分情況討論：
- \(n \geq 2p\)。如果\(r \neq 0\)，則無解，否則將\(p\)變成\(1\)即可。
- \(2p > n \geq p\)。如果\(r==0\)，則將一個非\(p\)的數變成\(1\)即可，注意：當\(n==p==2\)時無解。若\(r \neq 0\)，則將\(p\)變成另一個數，枚舉一下就好。
- \(p>n\)。\(\frac{M}{x} y \equiv r mod(p), M=n! mod (p)\), 則\(y \equiv rx \cdot inv(M) mod (p)\)。枚舉\(x\)，求對應的\(y\)，求出一個可行解即可，否則無解。
時間復雜度：\(O(p)\)
Problem G:Gambling Guide
題目描述：給出一個\(n\)個點\(m\)條邊的無向圖，現在從\(1\)號點出發到\(n\)號點，假設現在在\(i\)號點，然后買票，但買到的票是隨機的，即這張票通向的是\(i\)號點相鄰點的隨機一個，買到的票可以不立刻用，也可以不用。問需要期望買多少張票能從\(1\)號點到\(n\)號點。
solution
設\(f(x)\)為從\(x\)號點到\(n\)號點的期望買票數。按照最優策略，當買到去\(y\)的票時（\(y\)為\(x\)的鄰居），若\(f(y)<f(x)\)，則移動到\(y\)，否則不動。
現在只知道\(f(n)=0\)。假設\(f(x)\)已知的集合為\(S\)，初始時\(S=\) { \(n\) }，然后按\(f(x)\)遞增的順序添加點進\(S\)。考慮那些不在\(S\)中，但有鄰居在\(S\)的點\(x\)，則
選擇\(f'(x)\)最小的點添加到\(S\)，\(f(x)=f'(x)\)。
這個過程與Dijkstra很像，所以可以按照Dijkstra的實現方法來實現。
時間復雜度：\(O(mlogn)\)
Problem H:Hidden Hierarchy
題目描述：給出一些文件的大小，按規則展開目錄，輸出目錄樹
solution
模擬
時間復雜度：\(O(nlogn)\)
Problem I:Intrinsic Interval
題目描述：給定一個\(n\)排列\(P\)。若排列中\([x, y]\)的數從小到大排序后是連續的，則稱它是一個好區間。現有\(m\)個詢問\((a, b)\)，問包含\((a, b)\)的最小好區間是哪一個。
solution
離線處理，分治。假設現在處理的詢問都包含在\([L, R]\)中，設\(mid=\frac{L+R}{2}\)。然后將包含在\([L, mid], [mid+1, R]\)的區間分治處理。剩下的就是包含\([mid, mid+1]\)的詢問，然后找出包含\([mid, mid+1]\)的所有好區間，用這些好區間更新詢問的答案。
時間復雜度：\(O(n(logn)^2)\)
Problem J:Justified Jungle
題目描述：給定一個有\(n\)個節點的數，找出所有的整數\(k\)，滿足在樹上刪掉\(k\)條邊后，形成的每棵樹的節點數相同。
solution
首先，\(k+1\)一定是\(n\)的因數。隨意找一個點做根，求出每棵子樹的大小。如果某一個\(k\)是答案，則子樹大小是\(\frac{n}{k+1}\)的倍數的個數應該是\(k+1\)。可以證明這是充要條件。
時間復雜度：\(O(nlogn)\)
Problem K:Kitchen Knobs
題目描述：有\(n\)個轉盤，每個轉盤在邊緣上均等寫着\(7\)個數字（\(1\)~\(9\)），現在每次可以選定一個區間\([L, R]\)，將區間內的轉盤順時針同時轉動若干次，使得最終每個轉盤表示的數字最大（轉盤表示的數字為：轉盤指向的數字為七位數的最高位，然后順時針依次連接），問應該選擇多少個區間（輸出次數即可）
solution
以下的討論都是基於模\(7\)的情況。
首先觀察可得，每個轉盤轉動次數要么是確定的，要么怎么轉都可以。所以可以假設只有\(n\)個轉動次數確定的轉盤，每個轉盤的轉動次數為\(a_i\)。問題轉化為每次選擇一個區間加上一個相同的數，使得最終\(a_i=0\)
設\(b_i=a_i-a_{i-1}\)，將區間操作轉化為點操作。將\(b_i\)分成盡量多的組，使得每一組的和等於\(0\)，原題的答案等於\(n\)-組數。因為將某一組\(b_i\)全變為\(0\)的次數為該組中的個數減一。
問題就轉化為將\(b_i\)分成盡量多的組，使得每一組的和等於\(0\)。
首先將每個\(0\)歸為一組，然后\(1, 6;2, 5;3, 4\)匹配，最終只剩下最多三種不同的數字，然后用\(dp\)算出答案。\(f[i][j][k]\)表示每種數剩下多少個分得的最多組數。
時間復雜度：\(O(n^3)\)
Problem L:Lunar Landscape
題目描述：在二維平面上有\(n\)個正方形，這\(n\)個正方形的中心的坐標和頂點的坐標都是整數，而且這些正方形的邊要么與\(xy\)軸平行，要么成\(45^{\circ}\)。問正方形覆蓋的面積。
solution
將平面上的每個格子用對角線分成\(4\)格，將兩種正方形分別進行二維部分和，然后將部分和合並。
時間復雜度：\(O(平面大小)\)