二分查找（binary search），也稱折半搜索，是一種在 有序數組 中 查找某一特定元素 的搜索算法。搜索過程從數組的中間元素開始，如果中間元素正好是要查找的元素，則搜索過程結束；如果某一特定元素大於或者小於中間元素，則在數組大於或小於中間元素的那一半中查找，而且跟開始一樣從中間元素開始比較。如果在某一步驟數組為空，則代表找不到。這種搜索算法每一次比較都使搜索范圍縮小一半。
- 時間復雜度:折半搜索每次把搜索區域減少一半，時間復雜度為O(log n)。（n代表集合中元素的個數）
- 空間復雜度: O(1)。雖以遞歸形式定義，但是尾遞歸，可改寫為循環。
動圖演示
代碼描述
遞歸
int binarysearch(int array[], int low, int high, int target) {
if (low > high) return -1;
int mid = low + (high - low) / 2;
if (array[mid] > target)
return binarysearch(array, low, mid - 1, target);
if (array[mid] < target)
return binarysearch(array, mid + 1, high, target);
return mid;
}
非遞歸
int bsearchWithoutRecursion(int a[], int key) {
int low = 0;
int high = a.length - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid] > key)
high = mid - 1;
else if (a[mid] < key)
low = mid + 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
二分查找中值的計算
這是一個經典的話題，如何計算二分查找中的中值？大家一般給出了兩種計算方法：
- 算法一：
mid = (low + high) / 2 - 算法二：
mid = low + (high – low)/2
乍看起來，算法一簡潔，算法二提取之后，跟算法一沒有什么區別。但是實際上，區別是存在的。算法一的做法，在極端情況下，(low + high)存在着溢出的風險，進而得到錯誤的mid結果，導致程序錯誤。而算法二能夠保證計算出來的mid，一定大於low，小於high，不存在溢出的問題。
二分查找法的缺陷
二分查找法的O(log n)讓它成為十分高效的算法。不過它的缺陷卻也是那么明顯的。就在它的限定之上：必須有序，我們很難保證我們的數組都是有序的。當然可以在構建數組的時候進行排序，可是又落到了第二個瓶頸上：它必須是數組。
數組讀取效率是O(1)，可是它的插入和刪除某個元素的效率卻是O(n)。因而導致構建有序數組變成低效的事情。
解決這些缺陷問題更好的方法應該是使用二叉查找樹了，最好自然是自平衡二叉查找樹了，既能高效的（O(n log n)）構建有序元素集合，又能如同二分查找法一樣快速（O(log n)）的搜尋目標數。
參考資料：