漢羅塔問題

 

懶漢式遞歸——瞬間明白漢諾塔問題

Q. 為什么會有遞歸？

A. 因為我們是人，不是電腦！我們的working
memory有限！

游戲規則：

有A,B,C三根針，將A針上N個從小到大疊放的盤子移動到C針，一次只能移動一個，不重復移動，小盤子必須在大盤子上面。

 

問題：

總的移動次數是多少？

 

分析：

首先明確，我們的目標是將A針上所有N個盤子移動至C針。而對於B針，我們可以將之看成一個中轉站。

這個問題，順向思維或者逆向思維道理是相同的，都太麻煩。我們不妨從中間開始思考。

||： 規則要求小盤子必須在大盤子之上。試想這個過程中，必然會經歷那么一個步驟，即有一大坨N-1個盤子在B針這個中轉站，而我們正將最大那個盤子（即第N個盤子）從A針移動至C針。

 

【圖例】

 

只有經歷“移動最大盤子”這個步驟，余下的事情才有可能實現。而在此之前，我們所要做的事情，就是讓“移動最大盤子”這個步驟得以實現。

現在，游戲整個過程以“移動最大盤子”為中央，被分為了兩部分。即（前）“將那坨N-1個盤子從A針移動到B針”，(中)“移動最大盤子”，(后)“將坨N-1個盤子從B針移動到C針”。

這是我們意識到，（前）與（后）操作道理是相似的。不去管那個最大盤子，（前）是以C針為中轉站，（后）是以A針為中轉站。因此兩者所需的移動次數應當是相等的。這意味着我們只要計算出其中一者的移動次數，然而乘以2，在加上“移動最大盤子”的那1次，就是這場游戲的總移動次數了。

用數學語言表達，假設（前）“將N-1個盤子從A針移動到B針”所需次數為Hn-1，總移動次數為Hn，那么可以得出的關系就是：Hn=Hn-1
x 2 + 1.

其實當我們得出這個算式的時候，稍微聰明一點的人已經明白，這就是一個遞推公式，可以直接用此公式得出Hn的通解。

但是LZ比較笨，就是不明白，為什么這個公式就可以套用呢？

那么就干脆繼續思考吧。

讓我們再想象一個情景：最大那個盤子在剛剛從A針被移動到C針，而那坨N-1個盤子還在B針蠢蠢欲動地等待着，即處於（中）->(后)的這個狀態。

怎么移動這N-1個盤子呢？

其實這時候，問題已經回到了筆者標示“||：”符號的地方。“||：”是樂譜中的反復記號，而我們要做的，就是重復上面的步驟，但是要將N替換為N-1，因為現在只剩下N-1個盤子需要移動。而中轉站則從B變成了A（鑒於這時盤子都在B針）。目標仍然是C針。下一次重復的時候，只剩下N-2個盤子需要移動，中轉站又回到B，目標不變仍然是C針。……整個過程中，變化的只是中轉站（在A與B之間輪換），以及剩下那些所需要移動的盤子的總數（越來越少）而已。

那么那個大盤子怎么辦？不去管它嗎？？

正解！！

因為你已經把它移到C針，已經完成了這個移動步驟，它不會影響之后的操作。提醒自己牢記游戲規則，大盤子永遠在小盤子下面，而你也不需要再重復移動它——“不重復移動”，正是游戲規則的要求！

於是
Hn=Hn-1 x 2 + 1 這個公式，就可以套用、套用、套用……直到H3=7，H2=3，H1=1。

最后，用最懶的數學歸納法證明通項公式
Hn = 2^n - 1 吧！沒辦法，LZ就是比較懶嘛~

不管這個傳說的可信度有多大，如果考慮一下把64片金片，由一根針上移到另一根針上，並且始終保持上小下大的順序。這需要多少次移動呢?這里需要遞歸的方法。假設有n片，移動次數是f(n).顯然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不難證明f(n)=2^n-1。n=64時，

假如每秒鍾一次，共需多長時間呢？一個平年365天有31536000 秒，閏年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，計算一下：

18446744073709551615秒

這表明移完這些金片需要5845.54億年以上，而地球存在至今不過45億年，太陽系的預期壽命據說也就是數百億年。真的過了5845.54億年，不說太陽系和銀河系，至少地球上的一切生命，連同梵塔、廟宇等，都早已經灰飛煙滅。

 

宇宙壽命

如果移動一個圓盤需要1秒鍾的話，等到64個圓盤全部重新落在一起，宇宙被毀滅是什么時候呢？

讓我們來考慮一下64個圓盤重新摞好需要移動多少次吧。1個的時候當然是1次，2個的時候是3次，3個的時候就用了7次......這實在是太累了

因此讓我們邏輯性的思考一下吧。

3個的時候能夠移動最大的3盤時如圖所示。

到此為止用了7次。

接下來如右圖，在上面再放上3個圓盤時還要用7次（把3個圓盤重新放在一起需要的次數）。[4]  

因此，4個的時候是

“3個圓盤重新摞在一起的次數”+1次+“3個圓盤重新摞在一起需要的次數”

=2x“3個圓盤重新摞在一起的次數”+1次

=15次。

那么，n個的時候是

2x“（n-1）個圓盤重新摞在一起的次數”+1次。

由於1 個的時候是1次，結果n個的時候為（2的n次方減1）次。

1個圓盤的時候 2的1次方減1

2個圓盤的時候 2的2次方減1

3個圓盤的時候 2的3次方減1

4個圓盤的時候 2的4次方減1

5個圓盤的時候 2的5次方減1

........

n個圓盤的時候 2的n次方減1

也就是說，n=64的時候是（2的64次方減1）次。

因此，如果移動一個圓盤需要1秒的話，

宇宙的壽命=2的64次方減1（秒）

2的64次方減1到底有多大呢？動動計算器，答案是一個二十位的數字約是

1.84467440*10^19

用一年=60秒x60分x24小時x365天來算的話，大約有5800億年吧。

太陽及其行星形成於50億年前，其壽命約為100億年。

漢諾塔問題在數學界有很高的研究價值，而且至今還在被一些數學家們所研究。

也是我們所喜歡玩的一種益智游戲，它可以幫助開發智力，激發我們的思維。

印度傳說

和漢諾塔故事相似的，還有另外一個印度傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發明人──宰相西薩·班·達依爾。國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里賞給我一粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3個小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王覺得這個要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒。當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數時，國王才發現：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求。

那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢？總數為

1+2+2^2 + … +2^63=2^64-1

等於移完漢諾塔所需的步驟數。我們已經知道這個數字有多么大了。人們估計，全世界兩千年也難以生產這么多麥子！

'''
source  原來的盤子
targer  移到目標柱子的盤子
helper  中間柱子的盤子
'''
def hanoi22(n,source,target,helper):
     pass
def hanoi(n,A,B,C):
    if n == 1:
        print(A+'->'+B)
    else:
        hanoi(n-1,A,C,B)
        print(A+'->'+B)
        hanoi(n-1,C,B,A)

hanoi(3,'A','B','C')