計算機里的加減乘除四則運算，最基本的就是加法運算，其余三種運算都可以通過加法運算來實現。
I. 半加器 (Half Adder)
考慮一位二進制加法運算，如果不考慮進位的話，我們可以得到如下真值表：
A，B表示輸入，C（Carry）表示進位，S（Sum）表示結果。
可以得到：
用邏輯門來實現：
II. 全加器 (Full Adder)
有了半加器以后我們發現，這種加法器並不能實現多位數的加法，因此誕生了有進位的全加器。和半加器不一樣，一個全加器有三個輸入（A，B和低位進位）和兩個輸出（和以及進位輸出）。
列出真值表：
可以得到：
邏輯門實現：
III. 紋波進位加法器 (Ripple Carry Adder)
將n個全加器級聯起來，就是一個n位的加法器，這就是逐級進位加法器。
考慮到門電路中的電場狀態改變需要時間，如果輸入電平發生了變化，那么輸出電平需要一段時間后才會響應，當然這段時間很小，小到了納秒級別。因此，這種加法器有個缺點：每一位的進位輸入依賴於上一位的進位輸出，只有前一位的進位信號穩定后，這一位的全加器的運算才是有意義的。如果位數n很大的話，整個加法器會變慢，最后會限制CPU主頻的提高。
IV. 超前進位加法器 (Carry-lookahead Adder)
既然級聯一位的加法器算有這樣的缺點，那就干脆直接設計一個位數足夠大的加法器！
我們列出2位的全加器的真值表：
我們看到，隨着n增大，真值表的行數是指數級別增長的。即使位數僅僅只有2，真值表的行數都達到了32，人工求解布爾表達式變得很困難。但是理論上，這樣的全加器的確存在，而且實際上，有一個更優雅的設計方法。
再次考慮上面講到的全加器，不再以級聯的方式獲得進位輸入，而是直接根據輸入，設計電路得到合適的進位，這樣設計出來的加法器叫做超前進位加法器。
其中，每一級的進位可以由當前的兩個位產生(generate)，
；或者由上一級傳遞(propagate)的進位 
和當前輸入累加導致的，
，因此下一級的進位是
。
因此，得到關於2位超前進位加法器的布爾表達式：
考慮到集成電路的面積，成本，功耗，散熱等因素，超前進位加法器的位數一般不會過大。一般將幾個超前進位加法器(如8位，16位)級聯起來，得到位數夠寬的加法器。
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來源：知乎