Start from integer 1, remove any integer that contains 9 such as 9, 19, 29...
So now, you will have a new integer sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ...
Given a positive integer n, you need to return the n-th integer after removing. Note that 1 will be the first integer.
Example 1:
Input: 9 Output: 10
Hint: n will not exceed 9 x 10^8.
這道題讓我們移除所有包含數字9的數字，然后得到一個新的數列，給了一個數字n，求在這個新的數組中第n個數字。多寫些數字來看看：
0，1，2，3，4，5，6，7，8 （移除了9）
10，11，12，13，14，15，16，17，18 （移除了19）
.....
80，81，82，83，84，85，86，87，88 （移除了89）
（移除了 90 - 99 ）
100，101，102，103，104，105，106，107，108 （移除了109）
可以發現，8的下一位就是10了，18的下一位是20，88的下一位是100，實際上這就是九進制的數字的規律，那么這道題就變成了將十進制數n轉為九進制數，這個就沒啥難度了，就每次對9取余，然后乘以 base，n每次自除以9，base 每次擴大10倍，參見代碼如下：
解法一：
class Solution { public: int newInteger(int n) { long res = 0, base = 1; while (n > 0) { res += n % 9 * base; n /= 9; base *= 10; } return res; } };
我們也可以寫的更簡潔一些，不用 base 變量，將結果 res 先當作字符串來處理，最后再轉回整型數，參見代碼如下：
解法二：
class Solution { public: int newInteger(int n) { string res = ""; while (n > 0) { res = to_string(n % 9) + res; n /= 9; } return stoi(res); } };
將十進制數轉為九進制只能算 Easy 的題目，既然這道題標記了 Hard，我們就不應該只滿足於此。因為數字9是個特例，可以用上面的巧妙的解法，但如果要移除1到8中間的任意一個呢？上面的方法就不好使了，還是要來看看通用的解法。又來讀 fun4LeetCode 大神的 paper 了，這次大神收着寫的，不算太長，還是可以好好讀一讀的。這里不管是移出那個數字，新數組中的第n個數字的值m，都是要大於n本身的，將多出的數的個數用 f(1, m) 表示，則有：
m - f(1, m) = n
要求m的話，就要先求出 f(1, m) 的值，然后加上n的值，就能得到m了。這道題無法直接求出m的值，而是采用一種迭代逼近的方法來算m。最開始的時候，讓m為n，先求 f(1, n) 的值，比如說結果為k，然后再算 f(1, n + k) 的值，用得到的結果 k' 來更新k，再帶入算 f(1, n + k)，直到 k == f(1, n + k) 為止，那么此時的 n + k 就是要求的m。
下面來看如何計算 f(1, m)，當然不可能遍歷所有的數字，一位一位來查看有沒有要移除的數字了，太不高效了。再來看看開頭列舉的前 99 個數字中移除9后剩下的數字，統計一下，總共去掉了 19 個包含9的數字。那么想一下，如果前 99 個數字中要移除所有包含2的數字，會去掉多少個？其實還是 19 個，可以發現，前 99 個數字，不論去掉哪個數字，都會去掉 19 個數字。這是一個很重要的發現，再來看看這19個數是怎么分布的，首先每 10 個數都一定會包含一個要移除的數，比如要移除的是9，每 10 個數都會有一個9出現，而在 90 幾那一行，10 個數都會包含9，所以都要移除，那么可以總結出規律，非移除數開頭的其他9行，各移除1個，移除數開頭的 10 個都要移除，所以就有 10+9=19 個。好，那么這是前 99 個數的情況，那么前 999 個數又是什么情況呢？其實很類似，非移除數開頭的9行各有 19 個，移除數開頭的有 10x19 個，所以整個就是 19x19 個，所以 19 這個基數很重要。
好，下面來看看各位上的數字a跟要移除數d之間的關系。有三種關系，分別是小於，等於，大於：
1）當 a < d 時，比如說要移除的數字是6，那么a就是1到5中的數，我們知道，每 10 個數中只含有一個6，所以就要移除a個6就行了，如果a在百位上，就是是 a * 19 個，然后再加上下一位上移除的值，用等式來寫就是：
T(1, m) = a_i * (10^i - 9^i) + T(1, m % 10^i)
2）當 a = d 時，那么a此時為6，如果a是十位上的數，那么前面 [1, 59] 中的5個6要先移除掉，然后此時下一位有多少個數移除多個數，還要加上1。比如m如果是 63，那么 60, 61, 62, 63 這四個數要移除，怎么算的，通過 m%10 + 1 來計算，所以整個用等式來寫就是：
T(1, m) = a_i * (10^i - 9^i) + m % 10^i + 1
3）當 a > d 時，比如此時a為8，要移除的數字還是6，那么 [60, 69] 這 10 個數都要移除，那么實際上還要再移除7個6，分別是 [1,9], [10,19], [21,29], [31,39], [41,49], [51,59], [71,79] 這7個區間中的6，那么是怎么算的，通過 a - 1 來算，實際上是情況1的值再加上 10^i 個數，用等式來寫就是：
T(1, m) = (a_i - 1) * (10^i - 9^i) + 10^i + T(1, m % 10^i) = a_i * (10^i - 9^i) + 9^i + T(1, m % 10^i)
參見代碼如下：
解法三：
class Solution { public: int newInteger(int n) { long d = 9, pre = 0, cur = 0; while (true) { pre = cur; cur = helper(n + cur, d); if (cur == pre) break; } return n + cur; } long helper(long m, long d) { long res = 0, p = 1, q = 1; for (long i = m; i >= 10; i /= 10) { p *= 10; q *= 9; } for (long i = m; i >= d; i %= p, p /= 10, q /= 9) { long a = i / p; res += a * (p - q); if (a == d) { res += i % p + 1; break; } else if (a > d) { res += q; } } return res; } };
討論：對於移除任意數字的一般情況，熱心網友 majestyhao 給了一種更加簡便的方法，這種解法是基於解法一而來的，是說不論移除任何數字，都先當作是移除9，統統都先轉為九進制數，然后再對每一位上的數字做特殊處理，假如其大於等於要移除的數字，將就對應位上的數字加上個1，這里並不用擔心進位的問題，因為九進制的數字不會出現9，現在是將原來的九進制數當作十進制數來做加法。博主試了一些 test cases，貌似沒有什么問題，若各位看官大神們有不同意見的歡迎留言，代碼參見評論區十一樓。
Github 同步地址：
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/660
參考資料：
https://leetcode.com/problems/remove-9/
https://leetcode.com/problems/remove-9/discuss/106561/One-Line-Java-Solution