第3章
3.6
原題：試解釋為什么離散直方圖均衡技術一般不能得到平坦的直方圖？
答：假設有一副圖像，共有像素個數為n=MN（M行N列），像素灰度值取值范圍為（0～255），那么該圖像的灰度值的個數為L=256，為了提高圖像的對比度，通常我們都希望像素的灰度值不要都局促到某一個狹窄的范圍，也就是我們通常說的圖像灰度值的動態分布小。最好是在有效灰度值取值范圍上，每個灰度值都有MN/L個像素，這個時候我們就可以得到一張對比度最理想的圖像，也就是說像素的取值跨度大，像素灰度值的動態范圍大。
因為直方圖是PDF（概率密度函數）的近似，而且在處理中，不允許造成新的灰度級，所以在實際的直方圖均衡應用中，很少見到完美平坦的直方圖。因此，直方圖均衡技術不能保證直方圖的均勻分布，但是卻可以擴展直方圖的分布范圍，也就意味着在直方圖上，偏向左的暗區和偏向右的亮區都有像素分布，只是不能保證每個灰度級上都有像素分布。
（百度答案：）由於離散圖像的直方圖也是離散的，其灰度累積分布函數是一個不減的階梯函數。如果映射后的圖像仍然能取到所有灰度級，則不發生任何變化。如果映射的灰度級小於256，變換后的直方圖會有某些灰度級空缺。即調整后灰度級的概率基本不能取得相同的值，故產生的直方圖不完全平坦。
3.8
原題：在某些應用中，將輸入圖像的直方圖模型化為高斯概率密度函數效果會是比較好的，高斯概率密度函數為：
其中m和σ分別是高斯概率密度函數的均值和標准差。具體處理方法是將m和σ看成是給定圖像的平均灰度級和對比度。對於直方圖均衡，您所用的變換函數是什么？
答：直方圖均衡變換函數的一般表達式如下：
在回答這個問題時，有兩點非常重要，需要學生表達清楚。
第一， 這個表達式假定灰度值r只有正值，然而，高斯密度函數通常的取值范圍是-∞～∞，認識到這點是非常重要的，認識到這點，學生才能以多種不同的方式來解決問題。對於像標准差這樣的假設，好的答案是，需要足夠小，以便於當r為小於0時，在pr(r)曲線下的面積可以被忽略。另一種回答就是，將值（不知道什么值）按比例增大，直到r小於0部分的曲線下的面積可以被忽略。
第二，要讓學生認識到，變換函數本身，
並沒有閉合形式解（closed-form solution）。這是高斯密度函數的累積分布函數，該函數或者是數字可積的，或者其值有表可查。
第三點，不是很重要，但學生要說清楚，那就是r的高端值（high-end value）。再強調一遍，高斯PDF是趨於正無窮（+∞）的，一個可行性的方法就是根據標准差，和前面一樣對其做個假設。另一個可行方法就是除以一個足夠大的值，使得在大於r部分函數曲線下的面積可以忽略（這實際上就是相當於比例縮小標准差）。
學生還需做的工作就是處理直方圖，此時的變換函數是一種和的形式。負值和超過r的正值問題還是需要說明白，對於這些問題，前面建議的答案依然適用。學生需要指出，直方圖是通過對連續函數采樣得到的，所以對於采樣的比特位數應該給出建議。最可能的答案是8比特，此時學生還需描述函數縮放比例，以便其取值在[0,255]范圍之內。
Opencv中的均值和標准差函數meanStdDev
C++: void meanStdDev(InputArray src, OutputArray mean, OutputArray stddev, InputArray
mask=noArray())
C: void cvAvgSdv(const CvArr* arr, CvScalar* mean, CvScalar* std_dev, const CvArr* mask=NULL )
Python: cv.AvgSdv(arr, mask=None) -> (mean, stdDev)
Parameters
src – 輸入矩陣，通道數為1~4，input array that should have from 1 to 4 channels so that the results can be stored in
Scalar_ ‘s.
mean – 輸出參數，數據類型為Match，用於保存均值。
stddev –輸出參數，數據類型為Mat，用於保存標准差。
mask – 可選的mask運算。
函數meanStdDev 用於計算每個通道上的均值和標准差，分別保存在mean和std_dev中。
meanStdDev實例
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
using namespace std;
int main()
{
Mat img=imread("D:/CodeWork/MyImage/baboon.jpg",0);
// imshow("my test image!",img);
Mat mat_mean,mat_stddev;
meanStdDev(img,mat_mean,mat_stddev);
double m,s;
m=mat_mean.at<double>(0,0);
s=mat_stddev.at<double>(0,0);
cout<<"mean="<<m<<endl;
cout<<"stddev="<<s<<endl;
waitKey();
return 0;
}
輸出結果如下：
高斯PDF函數實例
在本例中，依然借用上一個實例中的圖片的均值和方差，根據本題中的高斯PDF公式：
創建高斯概率密度函數曲線，即高斯PDF，該“曲線”實際上就是一個一維Mat型數據，用ｐｒ表示，p表示概率，r表示灰度級。上面的公式中的σ用s表示，只是為了方便，與前面的s不要弄混。
void plot(const Mat&src,const string winName="PlotWindow") { int rows=src.rows,cols=src.cols ; if(rows!=1&&cols!=1) { cout<<"your input is not one dim!"<<endl; return; } double minv,maxv; minMaxLoc(src,&minv,&maxv); int wx=cols*1.4,wy=maxv*1.2; int blankLeft=cols*0.2; int blankBottom=maxv*0.1; namedWindow(winName); Mat img(wy,wx,CV_8UC3,Scalar::all(0)); //繪制坐標軸 Point origin(blankLeft,wy-blankBottom); Point arrowx(wx-10,wy-blankBottom); Point arrowy(blankLeft,10); plotCoordinate(img,origin,arrowx,arrowy,Scalar(0,255,255)); //繪制高斯PDF曲線 Point p1,p2; if(rows==1) { for(int i=0;i<cols-1;i++) { p1.x=i+blankLeft; p1.y=src.at<uchar>(0,i); p1.y =wy-p1.y-blankBottom; p2.x=i+1+blankLeft; p2.y=src.at<uchar>(0,i+1); p2.y=wy-p2.y-blankBottom; line(img,p1,p2,Scalar(255,0,255),3); } } else { for(int i=0;i<rows-1;i++) { p1.y=i; p1.x=src.at<uchar>(0,i); p2.y=i+1; p2.x=src.at<uchar>(0,i+1); line(img,p1,p2,Scalar(255,0,255),3); } } //cv::resize(img,img,Size(img.cols*2,img.rows*2)); imshow(winName,img);
//有些系統不能按“alt+PrtSc”會直接退出，所以要用waitKey等待5秒，同時在主程序中也要有waitKey（），否則還是會自動退出。
waitKey(500000);
}
在plot（）函數還調用了繪制坐標函數
void plotCoordinate(Mat& src,Point origin,Point px,Point py,Scalar color)
src--准備繪制坐標軸的矩陣；
origin--坐標原點；
px --x軸坐標端點；
py ----y軸坐標端點；
繪制坐標函數定義如下：
void plotCoordinate(Mat& src,Point origin,Point px,Point py,Scalar color) { line(src,origin,px,color); line(src,origin,py,color); line(src,px,Point(px.x-10,px.y-3),color); line(src,px,Point(px.x-10,px.y+3),color); line(src,py,Point(py.x+3,py.y+10),color); line(src,py,Point(py.x-3,py.y+10),color); }
下面是主程序：
int main() { Mat img=imread("D:/CodeWork/MyImage/baboon.jpg",0); // imshow("my test image!",img); Mat mat_mean,mat_stddev; meanStdDev(img,mat_mean,mat_stddev); double m,s;//m是均值，s是標准差 m=mat_mean.at<double>(0,0); s=mat_stddev.at<double>(0,0); // cout<<"mean="<<m<<endl; // cout<<"stddev="<<s<<endl; Mat pr(1,256,CV_64F,Scalar::all(0)); s *=0.2;//標准差s分別乘以0.2，0.5，1，1.5，2時，觀察高斯曲線的變化 for(int r=0;r<256;r++) { pr.at<double>(0,r)= std::exp(-(r-m)*(r-m)/(2*s*s))/(sqrt(2*3.14)*s); } cv::normalize(pr,pr,1,0,NORM_MINMAX); pr=pr*255;//將取值范圍擴展到255 pr.convertTo(pr,CV_8U); cout<<"pr="<<endl<<pr<<endl; plot(pr,"s*0.2"); waitKey(); return 0; }
下面是標准差s乘以0.2、0.5、1、1.5、2時，高斯PDF函數曲線的變化情況：
接下來，我們利用上面五個不同標准差值，根據公式（3）將高斯概率密度分布函數轉換成高斯概率累積分布函數，實現程序如下：
從T(r)曲線的變化我們可以發現，隨着標准差的增大，T(r)曲線越來越接近45°直線，當標准差放大6倍時，已經是一條45°直線了，這意味着標准差越大，該變換曲線，對變換結果的影響越小。
3.24
原題：證明如式（3.6-3）所示的拉普拉斯變換是各向同性的（即旋轉不變）。您需要下列軸旋轉θ角的坐標方程為：
其中(x,y)為未旋轉的坐標，而為旋轉后的坐標。
答案：
坐標未旋轉時的拉普拉斯運算表達式如下：
坐標旋轉后的表達式如下：
我們已經知道，坐標旋轉公式為：
其中θ為旋轉角度，為了證明前面兩個拉普拉斯表達式的右邊相等，我們先求解f對x’的一階導數在原坐標中的表達式：
對上面的表達式繼續微分得到：
同理，我們也可以求得的原坐標表達式：
將兩個二階微分表達式相加，我們就得到：
這樣我們就證明了，拉普拉斯運算是旋轉無關的運算。
3.25
中心為-4的拉普拉斯模板，執行的是水平和垂直方向上的差分運算。我們可以先考察一個 3×3的拉普拉斯模板，模板的中心值為-2，中心上下都為1，其它元素值為0，這樣的模板只是執行了垂直方向的差分，
而與之正交的亮度值的變化卻被忽略了，經過該模板處理的圖像，只有在垂直方向的像素會被銳化增強。而中心值為-4的模板則同時對垂直和水平兩個方向上進行微分處理，因此在垂直和水平兩個方向的像素都得到了銳化增強，
這樣的增強效果也會比單方向的銳化更明顯。同樣的，中心值為-8的模板對圖像執行了四個方向上的銳化增強，這樣通常會得到更好的銳化結果。
3.26
圖3.26
(a) 3×3 拉普拉斯模板的尺寸和系數是直接有方程(3.6-6)得到的，該方程為
▽2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)
換句話說，拉普拉斯模板中的數字，就是二階微分方程中的系數。如果用一個更大的“類拉普拉斯模板”與圖像卷積，並不會實現圖像的二階微分，所以我們也不要指望能夠給出一個更加銳化的結果。
實際上，正如在(b)中解釋的，不但不會銳化，反而變得模糊了。
(b)通常，增大“類拉普拉斯模板”的尺寸，會使圖像變得模糊。為什么會這樣呢？我們先假設有一個圖像，該圖像是由兩個垂直的條帶組成，左邊是黑色條帶右邊是白色條帶，黑白的分界線剛好通過
圖像的中心，也就是說圖像的中心有一個銳利的垂直邊線，如圖3.26所示。在書上正文98頁，圖3.36中，我們知道，當3×3拉普拉斯模板中心位於垂直邊線上時，二階微分會在垂直邊線區域產生一
個雙邊線；這是由於當模板中心在垂直邊線上繼續移動超過兩個像素時，該模板所包圍的區域像素值相同，經卷積計算后該區域的值為0。然而，如果模板太大，當模板中心位於黑色區域時，模板的
一半完全處於黑色區域，而依據模板尺寸的大小，模板的一部分會處於圖像的白色區域，這樣卷積結果將不再是二階微分的0，這意味着卷積后，本該為0的區域不再是0，圖3.26顯示了卷積效果。
圖中左上角就是准備被處理的圖像，緊挨着的圖像是用中心為8的 3×3 拉普拉斯模板卷積結果。其它圖像是分別用尺度 15×15, 35×35, 75×75,and 125 ×125類拉普拉斯模板卷積后的結果。隨着模板尺寸
的增加，圖像變得越來越模糊。