有向網絡（帶權的有向圖）的最短路徑Dijkstra算法

什么是最短路徑？

單源最短路徑（所謂單源最短路徑就是只指定一個頂點，最短路徑是指其他頂點和這個頂點之間的路徑的權值的最小值）

什么是最短路徑問題？

 給定一帶權圖，圖中每條邊的權值是非負的，代表着兩頂點之間的距離。指定圖中的一頂點為源點，找出源點到其它頂點的最短路徑和其長度的問題，即是單源最短路徑問題。

什么是Dijkstra算法？

求解單源最短路徑問題的常用方法是Dijkstra(迪傑斯特拉)算法。該算法使用的是貪心策略：每次都找出剩余頂點中與源點距離最近的一個頂點。

算法思想

    帶權圖G=<V,E>，令S為已確定了最短路徑頂點的集合，則可用V-S表示剩余未確定最短路徑頂點的集合。假設V0是源點，則初始 S={V0}。用數組Distance表示源點V0到其余頂點的路徑長度，用數組pre[i]表示最短路徑序列上頂點i的前一個頂點。初始時，pre[i]都是源點的下標。接下來需重復兩個步驟：

1. 從當前Distance[i]找出最小的一個，記錄其下標v=i，源點V0到頂點Vv的最短路徑即已確定，把Vv加入S。
2. 更新源點到剩余頂點的最短路徑長度。更新方法是：以上一步的頂點Vv為中間點，若Distance[v]+weight(v,i)<Distance[i]，則修改值：pre[i]=v;Distance[i]=Distance[v]+weight(v,i);

重復以上兩個步驟，直至所有頂點的最短路徑都已找到。
需要指出，Dijkstra算法求解的不僅是有向圖，無向圖也是可以的。下面給出一個完整的有向帶權圖的實例：

下面舉例：

有向帶權圖

Dijkstra算法的求解過程（規定INF是infinity無窮大的意思。）

 

基於鄰接矩陣存儲的有向網絡的Dijkstra算法的簡單實現：

const int infinity = 1000; //定義無窮常量，用1000表示

//定義圖結構，采用鄰接矩陣存儲形式
template <int max_size>
class Graph
{
    private:
/*鄰接矩陣，對於有向網絡（帶權的有向圖）其中存放的是權值*/
        adjacent[max_size][max_size]; 
    public:
        void Dijkstra(int); //Dijkstra算法,求最短路徑
};

//Dijkstra算法實現(基於鄰接矩陣存儲的帶權有向圖)
void Graph::Dijkstra(int vertex)
{
    //注意：下標表示結點
    int count = 0; //用於記錄訪問過的結點數目,后面用於控制循環
    bool find[max_size]; //用於標記已經找到最短路徑的結點
    int pre[max_size]; //用於存放當前結點的前驅結點的最短路徑
    int distance[max_size]; //用於存放當前結點的最短路徑
    //初始化
    for(int i=0;i<max_size;i++)
        pre[i] = vertex; //開始所有結點的前驅結點都是開始的vertex
    for(int i=0;i<max_size;i++)
        distance[i] = adjacent[vertex][i]; //鄰接矩陣中存放的權值就是距離
    for(int i=0;i<max_size;i++)
        find[i] = false; //初始化所有結點都沒有找到最短路徑
    find[vertex] = true;
    
    int v = vertex; //用來迭代頂點的變量
    int d; //用來表示距離
    while(count < max_size)
    {
        d = infinity;
        for(int i=0;i<max_size;i++) //找到離最初結點最短路徑的一個未訪問到的結點
        {
            if(!find[i] && distance[i]<d) 
            {
                d = diatance[i];
                v = i;
            }        
        }
        find[v] = true;
        //更新剩余的結點的前驅和最短距離
        for(int i=0;i<max_size;i++)
        {
            if(!find[i])
            {
                /*將上面找到的最短路徑的結點作為起始點，
                *連到其他未訪問過的結點上，
                *當比從最初結點到這個結點的路徑短的時候，
                *就將上個結點作為前驅結點，更新一下即可*/
                d = distance[v] + adjacent[v][i];
                if(d < distance[i])
                {
                    pre[i] = v;
                    distance[i] = d;
                }
            }
        }
        count++;
    }
    
}

 

參考：http://blog.csdn.net/zhangxiangdavaid/article/details/38360337