一、帶權有向圖
二、算法原理
1）由於我們的節點是從1-6，所以我們創建的列表或數組都是n+1的長度，index=0的部分不使用，循環范圍為1-6（方便計算）。
2）循環之前，我們先初始化dis數組和mark數組：
dis數組中保存我們需要求的開始點（start），到其余所有點的最短路徑。初始化的時候，只初始化到自己能夠直接到的節點的距離，不能直接到的距離初始化為max_int（即sys.maxsize）。
mark保存節點的狀態，如果已經被計算過，則狀態為True，還未被計算過，則為False
3）開始循環，注意，我們只循環[1,n]的范圍。index==0不納入循環。
4）N==1時，找到所有Dis元素中，對應mark元素為False的元素。找出其中最小值為10，對應的index為3，也就是節點3。然后在weight數組中，找到3能直接到的節點（且對應mark也要為False），這里找到3能直接到4號節點，且權重為50。此時判斷dis[3]+50<dis[4]，如果成立，則使用dis[3]+50更新dis[4]。由於dis[4]等於max_int，所以dis[4]被更新為60。
5）N==2時，找到所有Dis元素中，對應mark元素為False的元素。找出其中最小值為30，對應節點5。然后在weight數組中，找到5能直接到的節點（且對應mark也要為False），為4號和6號節點，且權重為20和60。此時判斷dis[5]+20<dis[4]，結果成立，所以dis[4]更新為50。同理dis[6]被更新為90。
6）N==3時，找到所有Dis元素中，對應mark元素為False的元素。找出其中最小值為50，對應節點4。然后在weight數組中，找到4能直接到的節點（且對應mark也要為False），為6號節點，且權重為10。此時判斷dis[4]+10<dis[6]，結果成立，所以dis[6]更新為60。
7）N==4時，找到所有Dis元素中，對應mark元素為False的元素。找出其中最小值為60，對應節點6。然后在weight數組中，找到6能直接到的節點（且對應mark也要為False），結果找不到6能直接到的節點。
8）N==5時，找到所有Dis元素中，對應mark元素為False的元素。找出其中最小值為max_int，對應節點2。然后在weight數組中，找到2能直接到的節點（且對應mark也要為False），為3號節點，且權重為5。此時判斷dis[4]+10<dis[6]，結果不成立，不成立則不更新dis[3]。
9）N==6時，已經找到到對應mark為False的元素，直接break出循環。整個計算最短路徑的過程結束。
10）可以看到N==6時得到Dis數組的結果是：[max_int,0,max_int,10,50,30,60]。除去index==0的元素，從1-6的元素，即是節點1到所有元素對應的距離（1到2的距離為max_int，說明沒有路線）。
三、Python實現
import numpy as np import sys def dijkstra(start, graph_struct, node): """ function:dijkstra args: start 要計算的起始點 graph_struct 帶權有向圖的結構 node 圖中節點個數 return: dis 元素為-1時，表示沒有路徑。其余為距離 """ # n表示有N個點，m表示M條邊，x表示求那個點到所有點的最短路徑 n, m, x = node, len(graph_struct), start max_int = sys.maxsize weight = np.full([n + 1, n + 1], -1) dis = np.full(n + 1, max_int) # 初始化權重數組，自己到自己為0.其他為暫為-1 for i in range(1, n + 1): weight[i][i] = 0 for i in graph_struct: # 所有存在邊的位置填上權重，沒有關系的位置保持為-1，表示不可直接到達 weight[i[0]][i[1]] = i[2] # 如果是與我們要求的x點相關的點，則也將x到i的權重填入dis列表中 if i[0] == x: dis[i[1]] = i[2] # 程序走到這里，我們就有了權重數組 以及 dis數組（x到各個點的距離，如果沒有邊，則為max_int） # dis ： [max_int, 0, max_int, 10, max_int, 30, 100]， dis[0]不納入計算，為了方便，我們只考慮index>=1的部分 # 定義內部search函數，開始計算x到所有點的最短路徑，最終更新到dis中 def search(x, dis, weight, n): """ function:search args: x 要求的點 dis 距離數組 weight 權重數組 n 節點的個數 return:dis """ mark = np.full(n + 1, False) # 創建一個mark數組，元素個數為n+1，[1,n]表示1-n點是否被當成最小值加過，已經加過為True，未被加過為False mark[x] = True # 要求的點x，直接標記為加過 dis[x] = 0 # 自己到自己的距離為0 count = 1 # 當前已經加了幾個點，當前只有x點，所以初始化為1 # 開始循環，當count<=n時，說明還有點未被加過 while count <= n: locate = 0 # locate記錄計算出來馬上要被加的點 min = max_int # 用於求最小值時比較用 # 找到dis里面，還沒有加過的位置(mark[idx]=False)里面數的最小值對應的index。 # dis : [9223372036854775807 0 9223372036854775807 10 9223372036854775807 30 100] # mark : [False,True,False,False,False,False]，從中找出10的index為 3 # 該for循環完畢后，min中的值就是最小值10 for i in range(1, n + 1): if not mark[i] and dis[i] < min: min = dis[i] locate = i # 如果locate為0，則說明所有點都被加完了，直接退出循環 if locate == 0: break # 如果locate不為0，說明找到了需要加的點，先對其進行標記 mark[locate] = True # 加一個點count增1 count += 1 # 從我們找到的需要加的點locate（例如3）開始，看weight數組中他到各個點的距離 for i in range(1, n + 1): # 如果某個點已經被加過了，我們就不計算locate到這個點的距離了 # 如果locate到某個點的距離為-1，說明沒有路，也不計算 # 條件3：x到locate的距離（dis[locate]） + locate到點i的距離(weight[locate][i]) < x到i的距離 才能更新 if not mark[i] and weight[locate][i] != -1 and ( dis[locate] + weight[locate][i] < dis[i]): # 條件都滿足，則計算，並更新dis中x-->i的距離 dis[i] = dis[locate] + weight[locate][i] return dis # 調用search開始計算x到各個點的距離，記錄到dis數組中 dis = search(x, dis, weight, n) # 打印dis數組 for i in range(1, len(dis)): if dis[i] == max_int: dis[i] = -1 print("%s點到%s點 %s" % (x, i, "的最短路徑為%s" % dis[i] if dis[i] != max_int else '沒有路')) # 返回 return dis if __name__ == '__main__': # 列舉所有的邊的權重，並寫入weight列表 weight_init = [(1, 3, 10), (1, 5, 30), (1, 6, 100), (2, 3, 5), (3, 4, 50), (4, 6, 10), (5, 6, 60), (5, 4, 20)] dis = dijkstra(1, weight_init, 6)
### Dijkstra算法原理還是比較簡單的，但是使用代碼實現的時候比較繞。需要多加復習，熟記於心。