數據庫系統概述----最小函數依賴集求解過程

最小函數依賴集的求解

 一、定義

　　最小函數依賴集也稱為極小函數依賴集、最小覆蓋；如果函數依賴集 F 滿足下列條件，則稱 F 為一個最小依賴集。

1. F 中任意函數依賴的右部僅含有一個屬性
2. F 中不存在這樣的函數依賴X→A,使得 F 與 F - {X→A}等價，即 F 中的函數依賴均不能由 F 中其他函數依賴導出
3. F 中不存在這樣的函數依賴X→A，X有真子集 Z 使得 F - {X→A} ∪ {Z→A}與 F 等價，即 F 中各函數依賴左部均為最小屬性集（不存在冗余屬性）

 二、算法步驟：

• 將 F 中的所有函數依賴的右邊化為單一屬性
• 去掉 F 中的所有函數依賴左邊的冗余屬性（只針對F中左部不是單一屬性的函數依賴）
• 去掉 F 中的所有冗余的函數依賴

三、例子說明

假設R<U , F> ，U = ABCD，函數依賴集F={A→BD，AB→C，C→D}，求：F 最小函數依賴集

第一步：將F中的所有函數依賴的右邊化為單一屬性：

　　因為F = {A→BD，AB→C，C→D}，函數依賴右邊化為單一屬性得：F = {A→B，A→D，AB→C，C→D}；

第二步：去掉F中的所有函數依賴左邊的冗余屬性（只針對F中左部不是單一屬性的函數依賴）

　　　F={A→B，A→D，AB→C，C→D}中只有函數依賴AB→C左部不是單一屬性，所以要對其進行去掉左邊冗余屬性的處理：

1. 先看A是不是冗余屬性：因為B_F⁺ ={ B }不包含A，所以A屬性不冗余         //這里應該注意的是，要看哪一個屬性是否是冗余屬性，則求該函數依賴左部除要查看的屬性外的其他屬性的集關於 F 的閉包是否包含要查看屬性
2. 再看B是不是冗余屬性：因為A_F⁺ ={A，B，C，D} 包含的B，所以B屬性冗余

 　　因此只將函數依賴AB→C左部B屬性去掉，所以F={A→B，A→D，A→C，C→D}。

第三步：去掉 F 中的所有冗余的函數依賴

依據引理：設F為屬性集U上的一組函數依賴，X，Y ⊆ U，X→Y 能由 F 根據Armstrong公理導出的充分必要條件是Y⊆ X_F⁺ 。即判斷 F 中一個函數依賴X→Y是否冗余，則只需要判定 Y 是否為的X_F⁺ 子集。

 因為有F={A→B，A→D，A→C，C→D}：

1. 先看判斷函數依賴A→D是否冗余，則把函數依賴A→D從F={A→B，A→D，A→C，C→D}中去掉后得F={A→B，A→C，C→D}，求得A_F⁺ = { A，B，C，D} 包含了D，所以為函數依賴A→D冗余，所以應該從F={A→B，A→D，A→C，C→D}中去掉函數依賴A→D，得F={A→B，A→C，C→D}
2. 再從F={A→B，A→C，C→D}依次判斷每一個函數依賴是否冗余，直至所有冗余的函數依賴都被消除。本例子中經過第1步后已消除 F 中的所有冗余函數依賴了，因此原F={A→BD，AB→C，C→D}的最小函數依賴集為 F ={A→B，A→C，C→D}。

 注意點：

1. F的最小依賴集F _m 不一定是唯一的，它與對個函數依賴FD_i 及X→A中個屬性的處置的順序有關。在本例子中在去掉F中的冗余的函數依賴時（綠色字體那一步）若不是首先判斷A→D是否冗余，而是首先判斷其它函數依賴是否冗余，那么所得的最小函數依賴就可能不同了
2. 要搞清楚在判斷一個函數依賴X→A是否為冗余時，是求X關於上一步所求得的新的函數依賴集 F 的閉包X_F⁺ ，然后在判斷A是否包含在該X_F⁺