數據庫系統概述----求屬性集X關於F的閉包XF+

屬性集X關於函數依賴集F的閉包X_F⁺ 的求解過程

一、定義：

　　設F為屬性集U上的一組函數依賴，X⊆U，X_F⁺ ={A | X→ A能y由F根據Armstrong公理推導出 }，X_F⁺ 稱為屬性集X關於函數依賴集F的閉包。

二、用途

　　1.若判斷X→Y是否能由F根據Armstrong公理推導出，則求出X_F⁺ ，判斷Y是否為X_F⁺ 的子集；若Y為X_F⁺ 的子集，則X→Y能由F根據Armstrong公理推導出，否則不能。

　　2.如果X_F⁺ = U，X是R<U , F>的候選碼。

三、求解算法

對R<U , F>，求屬性X（X ⊆ U）關於U上的函數依賴集F的閉包X_F⁺  

1. 輸入：X，F
2. 輸出：X_F⁺  
3. 步驟：

　　　　　　（1）令X⁰ =X，i =0；

　　　　　　（2）求MID，這里的 MID ={A| (∃V) (∃W) (V→W ∈ F ⋀ V ⊆Xⁱ  ⋀ A∈W ) }; 也就是說先令MID^' 為空集，對於F中的每一個函數依賴Y→Z，滿足屬性集Y⊆Xⁱ ，那么MID^' =MID^' ∩ Z；最終的MID^' 即為所求的MID

　　　　　　（3）Xⁱ⁺¹ =MID∪Xⁱ 

　　　　　　（4）判斷Xⁱ⁺¹ =Xⁱ 是否相等

　　　　　　（5）若相等或Xⁱ⁺¹ = U，則Xⁱ⁺¹ 就是X_F⁺ ，算法終止。

　　　　　　（6）若不相等，則令i = i +1，返回第（2）步。

四、例子說明：

　　已知關系模式R<U,F>，其中U={A,B,C,D,E}；F={AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}，求X_F⁺ 。

（1）令X⁰ =AB，求X¹：

　　　　先求此時的MID：

　　　　　　因為F中有AB→C，B→D，所以MID=CD

　　　　所以得X¹=X⁰∪MID=AB∪CD=ABCD；

　　　　又因為X⁰≠X¹且X¹≠ U，所以要繼續求X²；　　//   如果這時X⁰=X¹了，那么根據求解算法第（5）步，X¹即為所要求得的X_F⁺ 

（2）有X¹=ABCD，求X²：

　　　　先求此時的MID：

　　　　　　因為F中有C→E,AC→B，所以MID=BE；　　//  AB→C，B→D在第（1）步中已經出現了所以這里忽略

　　　　　　所以得X²=X¹∪MID =ABCD∪BE=ABCDE;

　　　　　　因為此時X²= U 了，所以根據求解算法第（5）步，X²即為所要求得的X_F⁺ ，算法結束。