雖然我們不希望發生沖突，但實際上發生沖突的可能性仍是存在的。當關鍵字值域遠大於哈希表的長度，而且事先並不知道關鍵字的具體取值時。沖突就難免會發 生。另外，當關鍵字的實際取值大於哈希表的長度時，而且表中已裝滿了記錄，如果插入一個新記錄，不僅發生沖突，而且還會發生溢出。因此，處理沖突和溢出是 哈希技術中的兩個重要問題。
1、開放定址法
用開放定址法解決沖突的做法是：當沖突發生時，使用某種探查(亦稱探測)技術在散列表中形成一個探查(測)序列。沿此序列逐個單元地查找，直到找到給定 的關鍵字，或者碰到一個開放的地址(即該地址單元為空)為止（若要插入，在探查到開放的地址，則可將待插入的新結點存人該地址單元）。查找時探查到開放的 地址則表明表中無待查的關鍵字，即查找失敗。
注意：
①用開放定址法建立散列表時，建表前須將表中所有單元(更嚴格地說，是指單元中存儲的關鍵字)置空。
②空單元的表示與具體的應用相關。
按照形成探查序列的方法不同，可將開放定址法區分為線性探查法、線性補償探測法、隨機探測等。
（1）線性探查法(Linear Probing)
該方法的基本思想是：
將散列表T[0..m-1]看成是一個循環向量，若初始探查的地址為d(即h(key)=d)，則最長的探查序列為：
d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
即:探查時從地址d開始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循環到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]為止。
探查過程終止於三種情況：
(1)若當前探查的單元為空，則表示查找失敗（若是插入則將key寫入其中）；
(2)若當前探查的單元中含有key，則查找成功，但對於插入意味着失敗；
(3)若探查到T[d-1]時仍未發現空單元也未找到key，則無論是查找還是插入均意味着失敗(此時表滿)。
利用開放地址法的一般形式，線性探查法的探查序列為：
hi=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i
用線性探測法處理沖突，思路清晰，算法簡單，但存在下列缺點：
① 處理溢出需另編程序。一般可另外設立一個溢出表，專門用來存放上述哈希表中放不下的記錄。此溢出表最簡單的結構是順序表，查找方法可用順序查找。
② 按上述算法建立起來的哈希表，刪除工作非常困難。假如要從哈希表 HT 中刪除一個記錄，按理應將這個記錄所在位置置為空，但我們不能這樣做，而只能標上已被刪除的標記，否則，將會影響以后的查找。
③ 線性探測法很容易產生堆聚現象。所謂堆聚現象，就是存入哈希表的記錄在表中連成一片。按照線性探測法處理沖突，如果生成哈希地址的連續序列愈長 ( 即不同關鍵字值的哈希地址相鄰在一起愈長 ) ，則當新的記錄加入該表時，與這個序列發生沖突的可能性愈大。因此，哈希地址的較長連續序列比較短連續序列生長得快，這就意味着，一旦出現堆聚 ( 伴隨着沖突 ) ，就將引起進一步的堆聚。
（2）線性補償探測法
線性補償探測法的基本思想是：
將線性探測的步長從 1 改為 Q ，即將上述算法中的 j ＝ (j ＋ 1) % m 改為： j ＝ (j ＋ Q) % m ，而且要求 Q 與 m 是互質的，以便能探測到哈希表中的所有單元。
【例】 PDP-11 小型計算機中的匯編程序所用的符合表，就采用此方法來解決沖突，所用表長 m ＝ 1321 ，選用 Q ＝ 25 。
（3）隨機探測
隨機探測的基本思想是：
將線性探測的步長從常數改為隨機數，即令： j ＝ (j ＋ RN) % m ，其中 RN 是一個隨機數。在實際程序中應預先用隨機數發生器產生一個隨機序列，將此序列作為依次探測的步長。這樣就能使不同的關鍵字具有不同的探測次序，從而可以避 免或減少堆聚。基於與線性探測法相同的理由，在線性補償探測法和隨機探測法中，刪除一個記錄后也要打上刪除標記。
2、拉鏈法
（1）拉鏈法解決沖突的方法
拉鏈法解決沖突的做法是：將所有關鍵字為同義詞的結點鏈接在同一個單鏈表中。若選定的散列表長度為m，則可將散列表定義為一個由m個頭指針組成的指針數 組T[0..m-1]。凡是散列地址為i的結點，均插入到以T[i]為頭指針的單鏈表中。T中各分量的初值均應為空指針。在拉鏈法中，裝填因子α可以大於 1，但一般均取α≤1。
【例】設有 m ＝ 5 ， H(K) ＝ K mod 5 ，關鍵字值序例 5 ， 21 ， 17 ， 9 ， 15 ， 36 ， 41 ， 24 ，按外鏈地址法所建立的哈希表如下圖所示：
（2）拉鏈法的優點
與開放定址法相比，拉鏈法有如下幾個優點：
①拉鏈法處理沖突簡單，且無堆積現象，即非同義詞決不會發生沖突，因此平均查找長度較短；
②由於拉鏈法中各鏈表上的結點空間是動態申請的，故它更適合於造表前無法確定表長的情況；
③開放定址法為減少沖突，要求裝填因子α較小，故當結點規模較大時會浪費很多空間。而拉鏈法中可取α≥1，且結點較大時，拉鏈法中增加的指針域可忽略不計，因此節省空間；
④在用拉鏈法構造的散列表中，刪除結點的操作易於實現。只要簡單地刪去鏈表上相應的結點即可。而對開放地址法構造的散列表，刪除結點不能簡單地將被刪結 點的空間置為空，否則將截斷在它之后填人散列表的同義詞結點的查找路徑。這是因為各種開放地址法中，空地址單元(即開放地址)都是查找失敗的條件。因此在 用開放地址法處理沖突的散列表上執行刪除操作，只能在被刪結點上做刪除標記，而不能真正刪除結點。
（3）拉鏈法的缺點
拉鏈法的缺點是：指針需要額外的空間，故當結點規模較小時，開放定址法較為節省空間，而若將節省的指
哈希表及處理沖突的方法
哈希法又稱散列法、雜湊法以及關鍵字地址計算法等，相應的表稱為哈希表。這種方法的基本思想是：首先在元素的關鍵字k和元素的存儲位置p之間建立一個對應關系f，使得p=f(k)，f稱為哈希函數。創建哈希表時，把關鍵字為k的元素直接存入地址為f(k)的單元；以后當查找關鍵字為k的元素時，再利用哈希函數計算出該元素的存儲位置p=f(k)，從而達到按關鍵字直接存取元素的目的。
當關鍵字集合很大時，關鍵字值不同的元素可能會映象到哈希表的同一地址上，即 k1≠k2 ，但 H（k1）=H（k2），這種現象稱為沖突，此時稱k1和k2為同義詞。實際中，沖突是不可避免的，只能通過改進哈希函數的性能來減少沖突。
綜上所述，哈希法主要包括以下兩方面的內容：
1）如何構造哈希函數
2）如何處理沖突。
8.4.1 哈希函數的構造方法
構造哈希函數的原則是：①函數本身便於計算；②計算出來的地址分布均勻，即對任一關鍵字k，f(k) 對應不同地址的概率相等，目的是盡可能減少沖突。
下面介紹構造哈希函數常用的五種方法。
1． 數字分析法
如果事先知道關鍵字集合，並且每個關鍵字的位數比哈希表的地址碼位數多時，可以從關鍵字中選出分布較均勻的若干位，構成哈希地址。例如，有80個記錄，關鍵字為8位十進制整數d1d2d3…d7d8，如哈希表長取100，則哈希表的地址空間為：00~99。假設經過分析，各關鍵字中 d4和d7的取值分布較均勻，則哈希函數為：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d4d7。例如，h(81346532)=43，h(81301367)=06。相反，假設經過分析，各關鍵字中 d1和d8的取值分布極不均勻， d1 都等於5，d8 都等於2，此時，如果哈希函數為：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d1d8，則所有關鍵字的地址碼都是52，顯然不可取。
2． 平方取中法
當無法確定關鍵字中哪幾位分布較均勻時，可以先求出關鍵字的平方值，然后按需要取平方值的中間幾位作為哈希地址。這是因為：平方后中間幾位和關鍵字中每一位都相關，故不同關鍵字會以較高的概率產生不同的哈希地址。
例：我們把英文字母在字母表中的位置序號作為該英文字母的內部編碼。例如K的內部編碼為11，E的內部編碼為05，Y的內部編碼為25，A的內部編碼為01, B的內部編碼為02。由此組成關鍵字“KEYA”的內部代碼為11052501，同理我們可以得到關鍵字“KYAB”、“AKEY”、“BKEY”的內部編碼。之后對關鍵字進行平方運算后，取出第7到第9位作為該關鍵字哈希地址，如圖8.23所示。
| 關鍵字 |
內部編碼 |
內部編碼的平方值 |
H(k)關鍵字的哈希地址 |
| KEYA |
11050201 |
122157778355001 |
778 |
| KYAB |
11250102 |
126564795010404 |
795 |
| AKEY |
01110525 |
001233265775625 |
265 |
| BKEY |
02110525 |
004454315775625 |
315 |
圖8.23平方取中法求得的哈希地址
3． 分段疊加法
這種方法是按哈希表地址位數將關鍵字分成位數相等的幾部分（最后一部分可以較短），然后將這幾部分相加，舍棄最高進位后的結果就是該關鍵字的哈希地址。具體方法有折疊法與移位法。移位法是將分割后的每部分低位對齊相加，折疊法是從一端向另一端沿分割界來回折疊（奇數段為正序，偶數段為倒序），然后將各段相加。例如：key=12360324711202065,哈希表長度為1000，則應把關鍵字分成3位一段，在此舍去最低的兩位65，分別進行移位疊加和折疊疊加，求得哈希地址為105和907，如圖8.24所示。
1 2 3 1 2 3
6 0 3 3 0 6
2 4 7 2 4 7
1 1 2 2 1 1
+） 0 2 0 +） 0 2 0
———————— —————————
1 1 0 5 9 0 7
（a）移位疊加 (b) 折疊疊加
圖8.24 由疊加法求哈希地址
4． 除留余數法
假設哈希表長為m，p為小於等於m的最大素數，則哈希函數為
h（k）=k % p ，其中%為模p取余運算。
例如，已知待散列元素為（18，75，60，43，54，90，46），表長m=10，p=7，則有
h(18)=18 % 7=4 h(75)=75 % 7=5 h(60)=60 % 7=4
h(43)=43 % 7=1 h(54)=54 % 7=5 h(90)=90 % 7=6
h(46)=46 % 7=4
此時沖突較多。為減少沖突，可取較大的m值和p值，如m=p=13，結果如下：
h(18)=18 % 13=5 h(75)=75 % 13=10 h(60)=60 % 13=8
h(43)=43 % 13=4 h(54)=54 % 13=2 h(90)=90 % 13=12
h(46)=46 % 13=7
此時沒有沖突，如圖8.25所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
|
|
54 |
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43 |
18 |
|
46 |
60 |
|
75 |
|
90 |
圖8.25 除留余數法求哈希地址
5． 偽隨機數法
采用一個偽隨機函數做哈希函數，即h(key)=random(key)。
在實際應用中，應根據具體情況，靈活采用不同的方法，並用實際數據測試它的性能，以便做出正確判定。通常應考慮以下五個因素 ：
l 計算哈希函數所需時間 （簡單）。
l 關鍵字的長度。
l 哈希表大小。
l 關鍵字分布情況。
l 記錄查找頻率
8.4.2 處理沖突的方法
通過構造性能良好的哈希函數，可以減少沖突，但一般不可能完全避免沖突，因此解決沖突是哈希法的另一個關鍵問題。創建哈希表和查找哈希表都會遇到沖突，兩種情況下解決沖突的方法應該一致。下面以創建哈希表為例，說明解決沖突的方法。常用的解決沖突方法有以下四種：
1. 開放定址法
這種方法也稱再散列法，其基本思想是：當關鍵字key的哈希地址p=H（key）出現沖突時，以p為基礎，產生另一個哈希地址p1，如果p1仍然沖突，再以p為基礎，產生另一個哈希地址p2，…，直到找出一個不沖突的哈希地址pi ，將相應元素存入其中。這種方法有一個通用的再散列函數形式：
Hi=（H（key）+di）% m i=1，2，…，n
其中H（key）為哈希函數，m 為表長，di稱為增量序列。增量序列的取值方式不同，相應的再散列方式也不同。主要有以下三種：
l 線性探測再散列
dii=1，2，3，…，m-1
這種方法的特點是：沖突發生時，順序查看表中下一單元，直到找出一個空單元或查遍全表。
l 二次探測再散列
di=12，-12，22，-22，…，k2，-k2 ( k<=m/2 )
這種方法的特點是：沖突發生時，在表的左右進行跳躍式探測，比較靈活。
l 偽隨機探測再散列
di=偽隨機數序列。
具體實現時，應建立一個偽隨機數發生器，（如i=(i+p) % m），並給定一個隨機數做起點。
例如，已知哈希表長度m=11，哈希函數為：H（key）= key % 11，則H（47）=3，H（26）=4，H（60）=5，假設下一個關鍵字為69，則H（69）=3，與47沖突。如果用線性探測再散列處理沖突，下一個哈希地址為H1=（3 + 1）% 11 = 4，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 + 2）% 11 = 5，還是沖突，繼續找下一個哈希地址為H3=（3 + 3）% 11 = 6，此時不再沖突，將69填入5號單元，參圖8.26 (a)。如果用二次探測再散列處理沖突，下一個哈希地址為H1=（3 + 12）% 11 = 4，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 - 12）% 11 = 2，此時不再沖突，將69填入2號單元，參圖8.26 (b)。如果用偽隨機探測再散列處理沖突，且偽隨機數序列為：2，5，9，……..，則下一個哈希地址為H1=（3 + 2）% 11 = 5，仍然沖突，再找下一個哈希地址為H2=（3 + 5）% 11 = 8，此時不再沖突，將69填入8號單元，參圖8.26 (c)。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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47 |
26 |
60 |
69 |
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（a） 用線性探測再散列處理沖突
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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69 |
47 |
26 |
60 |
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（b） 用二次探測再散列處理沖突
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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47 |
26 |
60 |
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69 |
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（c） 用偽隨機探測再散列處理沖突
圖8.26開放地址法處理沖突
從上述例子可以看出，線性探測再散列容易產生“二次聚集”，即在處理同義詞的沖突時又導致非同義詞的沖突。例如，當表中i, i+1 ,i+2三個單元已滿時，下一個哈希地址為i, 或i+1 ,或i+2，或i+3的元素，都將填入i+3這同一個單元，而這四個元素並非同義詞。線性探測再散列的優點是：只要哈希表不滿，就一定能找到一個不沖突的哈希地址，而二次探測再散列和偽隨機探測再散列則不一定。
2. 再哈希法
這種方法是同時構造多個不同的哈希函數：
Hi=RH1（key） i=1，2，…，k
當哈希地址Hi=RH1（key）發生沖突時，再計算Hi=RH2（key）……，直到沖突不再產生。這種方法不易產生聚集，但增加了計算時間。
3. 鏈地址法
這種方法的基本思想是將所有哈希地址為i的元素構成一個稱為同義詞鏈的單鏈表，並將單鏈表的頭指針存在哈希表的第i個單元中，因而查找、插入和刪除主要在同義詞鏈中進行。鏈地址法適用於經常進行插入和刪除的情況。
例如，已知一組關鍵字（32，40，36，53，16，46，71，27，42，24，49，64），哈希表長度為13，哈希函數為：H（key）= key % 13，則用鏈地址法處理沖突的結果如圖8.27所示：
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圖8.27 鏈地址法處理沖突時的哈希表
本例的平均查找長度 ASL=(1*7+2*4+3*1)=1.5
4、建立公共溢出區
這種方法的基本思想是：將哈希表分為基本表和溢出表兩部分，凡是和基本表發生沖突的元素，一律填入溢出表