我們知道日常生活中使用的數分為整數和實數，整數的小數點固定在數的最右邊，可以省略不寫，而實數的小數點則不固定。在計算機中只能識別和表示“0”和“1”，而無法識別小數點，因此要想使得計算機能夠處理日常使用的數據，小數點的問題是不可避免的。
關於計算機系統中實數的表示，在下篇文章中會講解。本篇博客我們講解的是整數在計算機系統中如何表示。
在各種大學教材，各種網站論壇中，對於整數編碼表示方法的正確打開姿勢（姿勢要帥）如下：
1、機器數
機器數（computer number）是數字在計算機中的二進制表示形式。機器數有2個特點：
①、符號數字化。因為計算機硬件只認識兩種物理狀態（用0和1表示），因此數據的正負號在機器里就用一位二進制0或者1來區分。在計算機用一個數的最高位存放符號, 0代表符號“+”，以1代表符號“-”。
②、機器數的大小受機器字長的限制。機器內部設備一次能表示的二進制位數叫機器的字長，一台機器的字長是固定的。字長8位叫一個字節（Byte），機器字長一般都是字節的整數倍，如字長8位、16位、32位、64位。
比如在字長為8的計算機中，十進制數+5，其機器數為00000101；十進制數-5，其機器數為10000101。
2、真值
計算機機器數真正的值稱為真值。因為機器數的最高位是符號位，所以我們在計算真值的時候要分區分開。
比如上面講的機器數10000101，單純作為一個二進制數，我們轉換為十進制是133。但是其真值是不計算符號位的，其最高位的1表示"-"。所以10000101的真值為-5。
3、機器數的原碼、反碼、補碼三種形式
前面我們講過機器數是在計算機中的二進制表示形式，但是在計算機中，這種表現形式又分為原碼、反碼、補碼等三種最常用的形式。
ps：下面舉例都是字長為8。
①、原碼
原碼=符號位+真值
比如：
[+5]原碼=0 0000101
[-5]原碼=1 0000101
原碼表示與真值對應直觀，而且轉換也簡單。但是用原碼進行加減運算的時候，會出現以下問題：
使用原碼計算表達式：1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + （-1）= [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
注意：計算機是沒有減法器，只有加法器，減法運算可以轉換為加上那個數的負數。
我們發現通過原碼計算1 - 1 表達式結果居然是 -2。所以早期計算機機器數采用原碼編碼的時候，在進行原碼加減運算時，必須先判定是否是兩個異號數相加或兩個同號數相減，若是，則必須判定兩個數的絕對值大小，根據判斷結果決定運算結果符號，並用絕對值大的數減去絕對值小的數。也就是說用這樣一種形式進行加運算時，負數的符號位不能與其數值部分一道參加運算，而必須利用單獨的線路確定符號位。很顯然，這樣設計電路就很復雜，這是不經濟實用的，為了解決這個問題，反碼產生了。
②、反碼
反碼：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。
我們用反碼來計算 1 - 1
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
看上去結果好像是正確的了，但是大家發現沒，結果是-0，雖然對於0的符號沒有什么實際意義。但是在計算機中，0如果用原碼和反碼表示會有兩種形式：
[+0]=[0000 0000]原=[0000 0000]反
[-0]=[1000 0000]原=[1111 1111]反
兩種編碼就兩種編碼吧，只不過是多占用一個計算機表示數的編碼形式。只要結果是正確的，我們還是能夠忍受的，然而。。。。
請用反碼計算表達式 2 -1
2 -1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反 = [0000 0000]反 = [0000 0000]原 = +0
是不是很奇怪，原碼計算 2 - 1 得到的結果居然是 0 。其實稍微分析計算過程我們也知道，再用反碼進行加法運算的時候發生了進位，而由於字長為8，進位就直接省略了，便造成了錯誤。這肯定是不被允許的，所以采用反碼的計算機解決辦法如下：
反碼的符號位相加后，如果有進位出現，則要把它送回到最低位去相加（循環進位）。
2 -1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反+[0000 0001]循環進位 = [0000 0001]反 = [0000 0001]原 = +1
13 - 6 = 13 + （-6）= [0000 1101]原 + [1000 0110]原 = [0000 1101]反 +[1111 1001]反+[0000 0001]循環進位=[0000 0111]反 = [0000 0111]原 =+7
采用反碼運算雖然較好的解決了原碼運算所遇到的困難或問題，但由於循環進位需要二次算術相加，延長了計算時間，這同樣給電路帶來麻煩。這時候補碼登場了。
③、補碼
補碼：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼等於其反碼的末位加1
我們來看下面這個例子：
2 - 1 = 1
2 -1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補 = [0000 0001]補 = [0000 0001]原 =+1
9 + 12 = 21
9 + 12 = [0000 1001]原 + [0000 1100]原 = [0000 1001]補 + [0000 1100]補 = [0001 0101]補 = [0001 0101]原 = 21
我們發現補碼運算就很簡單了，產生的進位直接舍去，而且不做多余的操作也解決了進位的問題。還有 +0 和 -0 的表示，在原碼和反碼都有兩種形式，但是補碼卻只有一種：
[+0]=[0000 0000]原=[0000 0000]反=[0000 0000]補
[-0]=[1000 0000]原=[1111 1111]反=[0000 0000]補
就這樣我們完美的解決了計算機中整數運算的問題。計算機的機器數采用補碼的形式，我們在做算術運算的時候，既不需要額外的判斷，又能得到准確的結果。
看上去本文應該結束了，然而......
請求出 127+1 的值
4、溢出
接着上面拋出的問題，127+1的值，我們現在程序中看看：
public static void main(String[] args) {
byte x = 127;
byte y = 1;
byte k = (byte) (x+y);
System.out.println(k); //-128
System.out.println(Byte.MIN_VALUE+"~"+Byte.MAX_VALUE); //-128~127
}
byte在計算機正好是一個字節，也就是8位二進制序列。我們發現127+1結果不是128，反而是-128，這就是結果發生了溢出。因為byte表示數的范圍是-128-127,128超出了這個范圍。用補碼計算如下：
1 + 127 = [0000 0001]原 + [0111 1111]原 = [0000 0001]補 + [0111 1111]補 = [1000 0000]補
我們發現這個數的符號位沒有發生進位，但是數值最高位發生了進位。在看前面的2-1
2 -1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補 = [0000 0001]補 = [0000 0001]原 =+1
這個表達式符號位和數值最高位發生了進位，但是結果卻是正確的。總結如下：
只有一個高位進位或者符號位進位就為溢出的規則。
溢出是每種編碼在運算時都不可避免的，一般來講結果超過字長所表示數的范圍都會發生溢出。而判斷機器是正常進位還是溢出的基本依據，在微型機中可用異或電路來實現上述的判斷。在實際編碼中解決辦法也很簡單，就是將結果用更大范圍的編碼形式接收即可。比如兩個byte類型的數相加，我們用 int 來接收即可。
public static void main(String[] args) {
byte x = 127;
byte y = 1;
int k = x+y;
System.out.println(k); //128
System.out.println(Byte.MIN_VALUE+"~"+Byte.MAX_VALUE); //-128~127
}
所以我們可以說用補碼進行運算，在不考慮溢出的情況下，結果都是正確的。確實也是這樣，但是......
請求出 -128 的補碼？
5、劇情反轉
上面的給出的問題，-128 的補碼，我們首先想到去求它的原碼，嗯，原碼應該是 [1000 0000]，不對，第一位不是符號位嗎，[1000 0000]應該表示 -0。那應該怎么用原碼表示 -128呢，我們發現字長為 8 的計算機用原碼是無法表示的，反碼也是一樣。我們看看補碼，用 -127- 1 的表達式結果來計算 -128 的補碼：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補
-128的補碼形式為 [1000 0000]，我們能通過算術表達式得到某個數的補碼形式，但是為什么直接就求不出來？那么計算機自己是怎么實現的呢？
再來看這樣一個問題：我們日常使用的鍾表，比如現在鍾表指向的是 10點鍾，我要將鍾表調整到 6 點鍾，則有兩種撥法：
①、順時針將時針撥動 8 格
②、逆時針將時針撥動 4 (12-8) 格
由此給大家普及一個概念叫 “模”，鍾表便是一個典型的模運算系統，其模數為12。
同理，對於十進制兩位數，在將結果百位舍掉的情況下，50可以用60-10得到，或者60+90得到。這里的90也就是100-10得來的，那么我們就說十進制兩位數運算系統的模數為100。
我們判定：兩個相加等於模的數互為補數。
在模表示的范圍內做減法運算，可以將“X－Y”的減法變更為“X＋Y的補數“的加法，當然這里不考慮結果溢出。
上面我們舉的例子都是大數減小數，如果是小數減大數會怎樣？
如果是10-80，結果應該是-70。但是如果按照 10+（100-80）的說法，結果是30。很明顯，30和-70不是同一個結果，而且也沒有產生百位進位。那我們應該怎么辦呢？
解決辦法很簡單，就是讓這兩個數相等，而且這正好解決了負數的表示方法，-70的絕對值的補數正好是30。
但是問題又來了，這里的30已經表示正數30了，現在又表示負數-70，那我們怎么知道它到底表示哪個數？
為了解決這個問題，我們給這套規則規定一個范圍，原來是0～99的正數，現在既然要用部分正數來代替負數了，那就要規定一個范圍來使得一個數只代表一個含義，正好一人一半，0～49這個區間就代表正數，50～99的區間就用來代表各自補數的負值，例：98就代表－2
所以0-99的編碼數可以表示的數的范圍為 -50-49。
我們解決了十進制兩位數的減法運算，那么在字長為 8 的計算機系統中，我們又該如何呢？
8位二進制數可以表示的數為2的8次方，0-255，一共 256 個數，0也要占用一位數。所以我們說 256 是8 位二進制數的模，這和上面說的十進制兩位數0-99，模為100是一樣的。
我們按照前面講的邏輯，一半的數0-127，代表其正數本身，另一半的數128-255表示其補數的負值，即-1~-128。
所以而 “X－Y”的減法 就用 “X＋Y的補數” 的加法來表示，即將減法的形式轉換為加法的形式了，而且計算結果還是正確的。
注意：這里還是一樣，不考慮結果的溢出，也就是計算值和結算結果都必須在-128~127之間，一旦超過這個范圍，結果就不准了，這也是程序員日常編碼說的int=int+int，如果結果大於int類型表示的范圍，那得出來的結果肯定不准。
由此我們得出來的結論是：
計算機編碼其實並沒有什么所謂的符號位，但是由於計算機沒有減法運算，為了將負數變為某個可以運算的編碼來進行加法運算，補碼產生了。這也間接說明了正數的補碼是不變的，而負數的解決辦法是首位不變，其余的取反再加1。
我們上面說的補碼怎么得來的，就是 模-絕對值 。
所以這個時候我說讓你求 -128的補碼，你馬上就會知
256 - |-128|＝128 而128的二進制補碼是不是就是 [1 0 0 0 0 0 0 0]
讓你求 -1 的補碼，你馬上就會知
256 - |-1| = 255，其255的二進制補碼形式就是[1111 1111]
注意：關於這樣求補碼的具體數學證明，請參考《計算機組成與系統結構》。
6、總結
本篇文章你可以直接從第 5 點開始看，忘掉計算機編碼的什么首位符號位，忘掉計算機補碼是由原碼取反加1，回歸簡單直白的理解。計算機是機器，硬件能理解的只有高低電平，也就是0或者1。它知道什么是符號位嗎？這些規則只不過是為了更好的完成減法運算所yy出來的。
大學也學過這些編碼方式，但是都是背書式記憶，希望這篇文章能給大家帶來一些幫助。
個人見解，如有錯誤歡迎大家拋磚！！！
參考書籍:《計算機組成與系統結構》
參考文章: https://www.zhihu.com/question/20458542?sort=created