線性查找算法(BFPRT)

BFPRT算法的作者是5位真正的大牛（Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan）。

BFPRT解決的問題十分經典，即從某n個元素的序列中選出第k大(第k小)的元素，通過巧妙的分析，BFPRT可以保證在最壞情況下仍為線性時間復雜度。

步驟

1. 將n個元素每 5 個一組，分成n/5(上界)組。
2. 取出每一組的中位數，任意排序方法，比如插入排序。
3. 遞歸的調用 selection 算法查找上一步中所有中位數的中位數，設為x，偶數個中位數的情況下設定為選取中間小的一個。
4. 用x來分割數組，設小於等於x的個數為k，大於x的個數即為n-k。
5. 若i==k，返回x；若i<k，在小於x的元素中遞歸查找第i小的元素；若i>k，在大於x的元素中遞歸查找第i-k 小的元素。

　終止條件：n=1 時，返回的即是i小元素。

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待查找的數組 ： 
4 1 2 56 24 5 6 97 8 0 4 8 6 2 3 6 1 9 3 4 6 2 
找出第 8 小的數
被分割的數組 ： 
4 1 2 56 24 
該數組的中位數 : 4
被分割的數組 ： 
5 6 97 8 0 
該數組的中位數 : 6
被分割的數組 ： 
4 8 6 2 3 
該數組的中位數 : 4
被分割的數組 ： 
6 1 9 3 4 
該數組的中位數 : 4
中位數的集合 ： 
4 6 4 4 
經過選擇排序后的中位數數組 ： 
4 4 4 6 
定義的 x 為 ： 4
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待查找的數組 ： 
4 1 2 0 4 2 3 1 3 4 2 
找出第 8 小的數   //數組長度比8大
被分割的數組 ： 
4 1 2 0 4 
該數組的中位數 : 2
被分割的數組 ： 
2 3 1 3 4 
該數組的中位數 : 3
中位數的集合 ： 
2 3 
經過選擇排序后的中位數數組 ： 
2 3 
定義的 x 為 ： 2  //前6小的數據已得出(0 1 1 2 2 2)
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待查找的數組 ： 
4 4 3 3 4 
找出第 2 小的數   3 //(8-6=2  查出第二2小的數據)
第 8 小的數為 ： 3
(0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 8 8 9 24 56 97)

ps:

1.為何利用5作為元組大小，可能是與寄存器的數量和運算有關。

2.為何稱為線性的解答：

划分時以5個元素為一組求取中位數，共得到n/5個中位數，再遞歸求取中位數，復雜度為T(n/5)。

得到的中位數x作為主元進行划分，在n/5個中位數中，主元x大於其中1/2*n/5=n/10的中位數，而每個中位數在其本來的5個數的小組中又大於或等於其中的3個數，所以主元x至少大於所有數中的n/10*3=3/10*n個。同理，主元x至少小於所有數中的3/10*n個。即划分之后，任意一邊的長度至少為3/10，在最壞情況下，每次選擇都選到了7/10的那一部分，則遞歸的復雜度為T(7/10*n)。

在每5個數求中位數和划分的函數中，進行若干個次線性的掃描，其時間復雜度為c*n，其中c為常數。

其總的時間復雜度滿足： T(n)<=T(n/5)+T(7/10*n)+c*n

假設T(n)=x*n，其中x不一定是常數（比如x可以為n的倍數，則對應的T(n)=O(n^2)）。則有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n。得到 x<=10*c

於是可以知道x與n無關，T(n)<=10*c*n，為線性時間復雜度算法。

而這又是最壞情況下的分析，故BFPRT可以在最壞情況下以線性時間求得n個數中的第k個數。