作者：王業磊
鏈接：https://www.zhihu.com/question/20343349/answer/17347657
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
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數學中最優化問題的一般表述是求取
，使
，其中
是n維向量，
是
的可行域，
是
上的實值函數。
凸優化問題是指是
閉合的凸集且
是
上的
凸函數的最優化問題，這兩個條件任一不滿足則該問題即為非凸的最優化問題。
其中，是
凸集是指對集合中的任意兩點
，有
![tx_{1}+(1-t)x_{2}\in \chi,t\in[0,1]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD10eF8lN0IxJTdEJTJCJTI4MS10JTI5eF8lN0IyJTdEJTVDaW4rJTVDY2hpJTJDdCU1Q2luJTVCMCUyQzElNUQ=.png)
，即任意兩點的連線段都在集合內，直觀上就是集合不會像下圖那樣有“凹下去”的部分。至於閉合的凸集，則涉及到閉集的定義，而閉集的定義又基於開集，比較抽象，不贅述，這里可以簡單地認為
閉合的凸集是指包含有所有邊界點的凸集。
是
凸函數是指對於定義域
中任意兩點
，有
![f(t x_{1}+(1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1})+(1-t)f( x_{2}),t\in[0,1]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD1mJTI4dCt4XyU3QjElN0QlMkIlMjgxLXQlMjkreF8lN0IyJTdEJTI5KyU1Q2dlK3QrZiUyOHhfJTdCMSU3RCUyOSUyQiUyODEtdCUyOWYlMjgreF8lN0IyJTdEJTI5JTJDdCU1Q2luJTVCMCUyQzElNUQ=.png)
，直觀上就是
向下凸出，如下圖示意。
實際建模中判斷一個最優化問題是不是凸優化問題一般看以下幾點：
，使
，其中
是n維向量，
是
的可行域，
是
上的實值函數。
凸優化問題是指
是
閉合的凸集且
是
上的
凸函數的最優化問題，這兩個條件任一不滿足則該問題即為非凸的最優化問題。
其中，
是
凸集是指對集合中的任意兩點
，有
，即任意兩點的連線段都在集合內，直觀上就是集合不會像下圖那樣有“凹下去”的部分。至於閉合的凸集，則涉及到閉集的定義，而閉集的定義又基於開集，比較抽象，不贅述，這里可以簡單地認為
閉合的凸集是指包含有所有邊界點的凸集。
是
凸函數是指對於定義域
中任意兩點
，有
，直觀上就是
向下凸出，如下圖示意。
實際建模中判斷一個最優化問題是不是凸優化問題一般看以下幾點：
- 目標函數如果不是凸函數，則不是凸優化問題
- 決策變量中包含離散變量（0-1變量或整數變量），則不是凸優化問題
- 約束條件寫成
時，
如果不是凸函數，則不是凸優化問題