作者：王业磊
链接：https://www.zhihu.com/question/20343349/answer/17347657
来源：知乎
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数学中最优化问题的一般表述是求取
，使
，其中
是n维向量，
是
的可行域，
是
上的实值函数。
凸优化问题是指是
闭合的凸集且
是
上的
凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。
其中，是
凸集是指对集合中的任意两点
，有
![tx_{1}+(1-t)x_{2}\in \chi,t\in[0,1]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD10eF8lN0IxJTdEJTJCJTI4MS10JTI5eF8lN0IyJTdEJTVDaW4rJTVDY2hpJTJDdCU1Q2luJTVCMCUyQzElNUQ=.png)
，即任意两点的连线段都在集合内，直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。至于闭合的凸集，则涉及到闭集的定义，而闭集的定义又基于开集，比较抽象，不赘述，这里可以简单地认为
闭合的凸集是指包含有所有边界点的凸集。
是
凸函数是指对于定义域
中任意两点
，有
![f(t x_{1}+(1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1})+(1-t)f( x_{2}),t\in[0,1]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD1mJTI4dCt4XyU3QjElN0QlMkIlMjgxLXQlMjkreF8lN0IyJTdEJTI5KyU1Q2dlK3QrZiUyOHhfJTdCMSU3RCUyOSUyQiUyODEtdCUyOWYlMjgreF8lN0IyJTdEJTI5JTJDdCU1Q2luJTVCMCUyQzElNUQ=.png)
，直观上就是
向下凸出，如下图示意。
实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：
，使
，其中
是n维向量，
是
的可行域，
是
上的实值函数。
凸优化问题是指
是
闭合的凸集且
是
上的
凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。
其中，
是
凸集是指对集合中的任意两点
，有
，即任意两点的连线段都在集合内，直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。至于闭合的凸集，则涉及到闭集的定义，而闭集的定义又基于开集，比较抽象，不赘述，这里可以简单地认为
闭合的凸集是指包含有所有边界点的凸集。
是
凸函数是指对于定义域
中任意两点
，有
，直观上就是
向下凸出，如下图示意。
实际建模中判断一个最优化问题是不是凸优化问题一般看以下几点：
- 目标函数如果不是凸函数，则不是凸优化问题
- 决策变量中包含离散变量（0-1变量或整数变量），则不是凸优化问题
- 约束条件写成
时，
如果不是凸函数，则不是凸优化问题