答案:
Q1:驗證SO(3) SE(3) Sim(3)關於乘法成群
SO(3) : 由P64最開始可知,乘法代表了旋轉,而SO(3)是旋轉矩陣的集合,
SE(3) Sim(3) 同理(最基礎的部分還是旋轉,平移和縮放只是附加的)
Q2:驗證(R3, R, X)構成李代數
滿足李代數定義的四條性質:
封閉性:對於任意的三維向量X Y,他們的內積仍然是三維向量
雙線性:顯然可得
自反性:sin(0°) = 0
雅克比等價: 只可以舉一個特殊的例子,在笛卡爾坐標系下考慮就是三個零相加 待大神補充
Q3:驗證so(3) se(3)構成李代數
so(3)的元素是一個三維向量/三維反對稱矩陣, 並將這個元素記做 φ 其李括號是[φ1,φ2] = [φ1φ2 - φ2φ1]V
封閉性:
雙線性:
自反性:顯然可得
雅克比等價:待大神補充
se(3)的元素是一個六維向量,上面是平移,下面同so(3)
封閉性:
雙線性:
自反性:顯然可得
雅克比等價:待大神補充
Q4:
Q5:
Q6:
Q7:
學習心得:
在研究SLAM時候,除了對三維世界剛體運動表示外(ch3),由於噪聲的影響,還要進行對可能的位姿進行優化,而旋轉矩陣必須得是行列式為1的正交矩陣,
為了減少這種約束,我們希望通過李群和李代數之間的關系,把位姿估計變為無約束的問題
李群和李代數是群論里的一部分,我們研究的SO(3) SE(3)都是李群,SO(3) SE(3)只有乘法沒有加法,既然沒有加法,就不存在取極限,更沒有求導了
所以引入李代數來實現求導,進而引出了擾動模型
Q:實踐時發現看了這么多公式的推演,但還是沒法動手寫代碼,甚至連閱讀demo code都是一件費勁的事情!
Solution:1.研讀代碼和公式,學習代碼
缺陷
雖然數學推導確實很難,但其實做數學推導還是有很多好處的,比如可以加深對公式的理解和記憶,以后看到類似paper的時候就不會感到暈了【類比思想嘛】,比如相似變換群(Sim(3))
但即使這樣做下來,除了對SO(3) 和 se(3)有一些很好的把握外,變換矩陣的還有點不太清楚,第二遍爭取可以把公式再梳理一遍