生命不息，學習不止，昨天學了兩個算法，總結一下，然而只是略懂，請路過的大佬多多諒解。
一、dfs序
1、什么是dfs序？
其實完全可以從字面意義上理解，dfs序就是指一棵樹被dfs時所經過的節點的順序
原圖來源於網絡，並經過靈魂畫師xhk的一發魔改。
好的，這張圖的dfs序顯然為A-B-D-E-G-C-F-H
2、dfs序怎么寫？
首先你得會寫dfs（不會的請先自行學習）
然后我們都知道正常的dfs一般是長這樣的（以及博主是只蒟蒻）
我們只需要多一個輔助數組來記錄dfs序就行了
代碼：
#include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[100010]; int dfs_[200020],len; void dfs(int u,int fa) { dfs_[++len]=u; int sz=g[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u); } } } int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=len;i++) { printf("%d ",dfs_[i]); } printf("\n"); }
好的，都應該可以理解了吧。
於是問題來了，我們要dfs序有什么用呢？
3、dfs序的用處
這得從dfs的優勢來探討了。
dfs是深度優先的，所以對於一個點，它會先遍歷完它的所有子節點，再去遍歷他的兄弟節點以及其他
所以對於一棵樹的dfs序來說，這個點和他所有的子節點會被存儲在連續的區間之中。
仍然是這張圖：
原圖來源於網絡，並經過靈魂畫師xhk的一發魔改。
我們都知道它的dfs序是：A-B-D-E-G-C-F-H
然后我們可以發現B字樹B-D-E-G，C子樹C-F-H都在一段連續的區間中。
那么這有什么好處呢？
比如說現在有一道題：給你一顆樹，給出m個x和w，意為將x子樹中的所有點加上一個權值w，最后詢問所有點的權值
既然dfs序中x和他的所有子節點都在連續的區間上，那么我們就可以將它簡化成差分的問題。
比如說給b節點加2，就可以簡化為給b的差分數組+2，c的差分數組-2
也就是說我們只需要找到第一個不包括在B的子樹的位置減掉2，到時候還原回前綴和就可以求解了。
是不是很簡單？
那么問題來了，我們怎么找第一個不在B子樹中的點？
這里，需要引進一個新的東西
4、時間戳
時間戳也很好理解，它就好比一個標簽，貼在每一個點上，記錄dfs第一次開始訪問這個點的時間以及最后結束訪問的時間。
所以它還是和dfs結合的
不過需要注意，dfs序和1-n是不一樣的
所以可千萬不要像博主一樣傻傻地用s[i]來表示點i的起始時間！
那么怎么保存呢？反正博主比較愚昧，只想到用另一個數組來記錄一下（這就是博主自帶大常數和大空間的原因）
於是變成了這樣
好的，那么知道了起始時間和終結時間以后我們該怎么用呢？
因為搜索進下一個點時時間增加，且結束時間逐級傳遞。
所以說我們的點的子節點的時間區間一定包含在這個點的時間區間內。
所以如果一個點的起始時間和終結時間被另一個點包括，這個點肯定是另一個點的子節點。（算導里稱之為括號化定理）
因此可以判斷一個點是否是另一個點的子節點。
代碼：
#include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[100010]; int dfs_[200020],len,time,s[200020],e[200020],pos[200020]; void dfs(int u,int fa) { int x=len+1; s[++len]=++time; dfs_[len]=u; pos[u]=len; int sz=g[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u); } } e[x]=time; } int main() { int n,m; scanf("%d %d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); x=pos[x]; y=pos[y]; if(s[x]<=s[y]&&e[y]<=e[x]) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } } }
至於如何讓找出第一個？
還是上面那張圖，設如果是B的子節點就為1，否則0
嗯，這玩意好像可以二分呢！
於是乎就做好了！log（n）的修改，似乎還挺可做的！
好吧假裝代碼是這樣的：
#include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[100010]; int dfs_[200020],len,time,s[200020],e[200020],pos[200020],a[200020],b[200020],sub[200020]; void dfs(int u,int fa) { int x=len+1; s[++len]=++time; dfs_[len]=u; b[len]=a[u]; pos[u]=len; int sz=g[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u); } } e[x]=time; } int main() { int n,m,t; scanf("%d %d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } for(int i=1;i<=n-1;i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); sub[1]=b[1]; for(int i=2;i<=len;i++) { sub[i]=b[i]-b[i-1]; } for(int i=1;i<=m;i++) { int x,w; scanf("%d%d",&x,&w); x=pos[x]; sub[x]+=w; int l=x,r=a[len]; while(l<r) { int mid=(l+r)>>1; if(s[x]<=s[mid]&&e[mid]<=e[x]) { l=mid+1; } else { r=mid; } } int y=r; sub[y]-=w; } for(int i=1;i<=n;i++) { sub[i]=sub[i-1]+sub[i]; } for(int i=1;i<=n;i++) { int x=pos[i]; printf("%d ",sub[x]); } }
然后還能再優化嗎?當然可以,我們只需要記錄一下每個點的dfs結束的位置,這樣子就不用二分了,怎么寫?自己想想吧先╮(￣▽￣)╭,如果你能堅持看完歐拉序,也許你能找到差不多的代碼哦~
二、歐拉序
1、什么是歐拉序
就是從根結點出發，按dfs的順序在繞回原點所經過所有點的順序
2、歐拉序有怎么寫？
（1）dfs到加進，dfs回加進，總共加入度遍。
原圖來源於網絡，並經過靈魂畫師xhk的一發魔改。
歐拉序1為A-B-D-B-E-G-E-B-A-C-F-H-F-C-A
同時需要一個輔助數組
代碼1：
#include<cmath> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[40010]; int len,a[80020]; void dfs(int u,int fa) { a[++len]=u; int sz=g[u].size(); for(int i=0; i<sz; i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u); a[++len]=u; } } } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,m; len=0; memset(a,0,sizeof(a)); scanf("%d",&n); for(int i=1; i<=n; i++) { g[i].clear(); } for(int i=1; i<=n-1; i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=len;i++) { printf("%d ",a[i]); } } }
（2）dfs進加進，dfs最后一次回加進，總共加兩遍
原圖來源於網絡，並經過靈魂畫師xhk的一發魔改。
歐拉序2為A-B-D-D-E-G-G-E-B-C-F-H-H-F-C-A
代碼2：
#include<cmath> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[40010]; int len,a[80020]; void dfs(int u,int fa) { a[++len]=u; int sz=g[u].size(); for(int i=0; i<sz; i++) { if(g[u][i]!=fa) dfs(g[u][i],u); } } a[++len]=u; } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,m; len=0; memset(a,0,sizeof(a)); scanf("%d",&n); for(int i=1; i<=n; i++) { g[i].clear(); } for(int i=1; i<=n-1; i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); for(int i=1;i<=len;i++) { printf("%d ",a[i]); } } }
當然還有幾種寫法，各有長處，不在介紹了就。
好的，那么我們來講下這幾種歐拉序的用處
三、歐拉序的用處
1、求LCA
假設我們使用歐拉序1
則我們要求的兩個點在歐拉序中的第一個位置之間肯定包含他們的lca,因為歐拉序1上任意兩點之間肯定包含從第一個點走到第二個點訪問的路徑上的所有點
所以只需要記錄他們的深度，然后從兩個詢問子節點x,y第一次出現的位置之間的深度最小值即可,可能不大好理解,看張圖吧。
代碼:
#include<cmath> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int > g[40010]; int len,a[80020],dep[80020],pos[80020][17],dp[80020][17],vis[80020],cnt[80020]; void dfs(int u,int fa,int deep) { a[++len]=u; dep[len]=deep+1; if(!vis[u]) { cnt[u]=len; vis[u]=1; } int sz=g[u].size(); for(int i=0; i<sz; i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u,deep+1); a[++len]=u; dep[len]=deep+1; } } } int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,m; len=0; memset(a,0,sizeof(a)); memset(dep,0,sizeof(dep)); memset(pos,0,sizeof(pos)); memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(cnt,0,sizeof(cnt)); scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1; i<=n; i++) { g[i].clear(); } for(int i=1; i<=n-1; i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0,0); printf("%d\n",len); for(int i=1; i<=len; i++) { dp[i][0]=dep[i]; pos[i][0]=i; } for(int j=1; j<=17; j++) { for(int i=1; i<=len; i++) { if(i+(1<<(j-1))>=len) { break; } if(dp[i][j-1]>dp[i+(1<<(j-1))][j-1]) { dp[i][j]=dp[i+(1<<(j-1))][j-1]; pos[i][j]=pos[i+(1<<(j-1))][j-1]; } else { dp[i][j]=dp[i][j-1]; pos[i][j]=pos[i][j-1]; } } } for(int i=1; i<=m; i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); int dx=cnt[x]; int dy=cnt[y]; if(dx>dy) { swap(dx,dy); swap(x,y); } int k=(int)(log((double)(dy-dx+1))/log(2.0)); int p; if(dp[dx][k]>dp[dy-(1<<k)+1][k]) { p=pos[dy-(1<<k)+1][k]; } else { p=pos[dx][k]; } printf("%d\n",a[p]); } } }
例題:HDU 2586
2、求子樹的權值之和
先來道滑稽題:(由於純屬手糊,如有錯誤,還請諒解)
給你一棵樹,告訴你每個點的點權,給你m個x和w,表示將子樹x中每個點的權值和加w,然后再給你t個x,表示詢問x子樹中所有點的權值之和.
樣例輸入:
7 2 7
6 5 4 2 1 8 7
1 2
2 3
2 4
4 5
1 6
6 7
5 1
3 2
1
2
3
4
5
6
7
樣例輸出:
36 15 6 4 2 15 7
這道題和dfs序中那道很像不是嗎?
好,我們來看歐拉序2,它有什么優點呢?你可以發現,每個點都出現了兩遍,而這個點第一次出現和第二次出現的位置之間就是他的所有子孫節點.
ちょっと まで!
有沒有發現這就是之前記錄結束位置的想法?
只不過這個更具體更好懂呢!
然后同樣是差分,只不過差分時我們可以直接通過該點第二次出現的位置+1來獲得第一個不是該子樹的點,然后,o(1)的修改就實現了.
但是如果這樣怎么查詢權值和呢?
我們都知道這個點第一次出現的位置和第二次出現的位置之間是他的子樹,那么我們只需要維護一遍前綴和,用第二個的位置減第一個的位置前的那個位置,就可以得到權值和了.
不過由於每個子樹中的點都被算了兩遍,我們要除以二.
代碼:
#include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> g[100010]; int euler[200020],pos[100010][2],len,a[100010],sub[200020]; void dfs(int u,int fa) { euler[++len]=u; pos[u][0]=len; int sz=g[u].size(); for(int i=0;i<sz;i++) { if(g[u][i]!=fa) { dfs(g[u][i],u); } } euler[++len]=u; pos[u][1]=len; } int main() { int n,m,t; len=0; scanf("%d%d%d",&n,&m,&t); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); } for(int i=1;i<=n-1;i++) { int from,to; scanf("%d%d",&from,&to); g[from].push_back(to); g[to].push_back(from); } dfs(1,0); sub[1]=a[euler[1]]; for(int i=2;i<=len;i++) { sub[i]=a[euler[i]]-a[euler[i-1]]; } for(int i=1;i<=m;i++) { int x,w; scanf("%d %d",&x,&w); sub[pos[x][0]]+=w; sub[pos[x][1]+1]-=w; } for(int i=1;i<=len;i++) { sub[i]=sub[i-1]+sub[i]; } for(int i=1;i<=len;i++) //如果刪去維護前綴和的過程,就是查詢單個點的權值 { sub[i]=sub[i-1]+sub[i]; } for(int i=1;i<=t;i++) { int x; scanf("%d",&x); printf("%d\n",(sub[pos[x][1]]-sub[pos[x][0]-1])/2); } }
沉迷學習,無法自拔......