矩陣的 Frobenius 范數及其求偏導法則

cr:http://blog.csdn.net/txwh0820/article/details/46392293

 

一、矩陣的跡求導法則 
 

1. 復雜矩陣問題求導方法：可以從小到大，從scalar到vector再到matrix 


2. x is a column vector, A is a matrix

d(A∗x)/dx=A 
d(xT∗A)/dxT=A 
d(xT∗A)/dx=AT 
d(xT∗A∗x)/dx=xT(AT+A)

3. Practice: 
 
4. 矩陣求導計算法則 
求導公式(撇號為轉置）： 
Y = A * X –> DY/DX = A’ 
Y = X * A –> DY/DX = A 
Y = A’ * X * B –> DY/DX = A * B’ 
Y = A’ * X’ * B –> DY/DX = B * A’ 
乘積的導數： 
d(f*g)/dx=(df’/dx)g+(dg/dx)f’

一些結論：

1. 矩陣Y對標量x求導： 
   相當於每個元素求導數后轉置一下，注意M×N矩陣求導后變成N×M了 
   Y = [y(ij)]–> dY/dx = [dy(ji)/dx]
2. 標量y對列向量X求導： 
   注意與上面不同，這次括號內是求偏導，不轉置，對N×1向量求導后還是N×1向量 
   y = f(x1,x2,..,xn) –> dy/dX= (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)’
3. 行向量Y’對列向量X求導： 
   注意1×M向量對N×1向量求導后是N×M矩陣。 
   將Y的每一列對X求偏導，將各列構成一個矩陣。 
   重要結論： 
   dX’/dX =I 
   d(AX)’/dX =A’
4. 列向量Y對行向量X’求導： 
   轉化為行向量Y’對列向量X的導數，然后轉置。 
   注意M×1向量對1×N向量求導結果為M×N矩陣。 
   dY/dX’ =(dY’/dX)’
5. 向量積對列向量X求導運算法則： 
   注意與標量求導有點不同。 
   d(UV’)/dX =(dU/dX)V’ + U(dV’/dX) 
   d(U’V)/dX =(dU’/dX)V + (dV’/dX)U’ 
   重要結論： 
   d(X’A)/dX =(dX’/dX)A + (dA/dX)X’ = IA + 0X’ = A 
   d(AX)/dX’ =(d(X’A’)/dX)’ = (A’)’ = A 
   d(X’AX)/dX =(dX’/dX)AX + (d(AX)’/dX)X = AX + A’X
6. 矩陣Y對列向量X求導： 
   將Y對X的每一個分量求偏導，構成一個超向量。 
   注意該向量的每一個元素都是一個矩陣。
7. 矩陣積對列向量求導法則： 
   d(uV)/dX =(du/dX)V + u(dV/dX) 
   d(UV)/dX =(dU/dX)V + U(dV/dX) 
   重要結論： 
   d(X’A)/dX =(dX’/dX)A + X’(dA/dX) = IA + X’0 = A
8. 標量y對矩陣X的導數： 
   類似標量y對列向量X的導數， 
   把y對每個X的元素求偏導，不用轉置。 
   dy/dX = [Dy/Dx(ij) ] 
   重要結論： 
   y = U’XV= ΣΣu(i)x(ij)v(j) 於是 dy/dX = [u(i)v(j)] =UV’ 
   y = U’X’XU 則dy/dX = 2XUU’ 
   y =(XU-V)’(XU-V) 則 dy/dX = d(U’X’XU - 2V’XU + V’V)/dX = 2XUU’ - 2VU’ +0 = 2(XU-V)U’
9. 矩陣Y對矩陣X的導數： 
   將Y的每個元素對X求導，然后排在一起形成超級矩陣。 
   10.乘積的導數 
   d(f*g)/dx=(df’/dx)g+(dg/dx)f’ 
   結論 
   d(x’Ax)=(d(x”)/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x”)=Ax+A’x （注意：”是表示兩次轉置）

矩陣求導 屬於 矩陣計算，應該查找 Matrix Calculus 的文獻： 
http://www.psi.toronto.edu/matrix/intro.html#Intro 
http://www.psi.toronto.edu/matrix/calculus.html 
http://www.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf 
http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf 
http://www4.ncsu.edu/~pfackler/MatCalc.pdf 
http://center.uvt.nl/staff/magnus/wip12.pdf