指數對數以及根式的運算

本文轉載自查看原文 2018-09-16 10:30 796 運算訓練

前言

學生的運算能力中尤其時涉及指數和對數的運算的功底比較弱，需要特別強化。

運算訓練

常用結論

$log_ab\cdot log_ba=1$；$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$；$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$；$lg2+lg5=lg10=1$；

指數運算

公式：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$；$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$；

注意：字母$a、b$的內涵；數，式都可以，且$m，n\in R$；

應用層次一：為換元和化簡做准備，常涉及復合函數的值域問題和數列的化簡求值等。

$4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$；

$9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2$；

$2^x+2^x=2^{x+1}$；

$2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}$；

$2^{x+1}-2^x=2^x\cdot 2-2^x=2^x$；

$2^{x+1}+2^x=3\cdot 2^x$；

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$；

$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

$2^{n+2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=2\cdot 2^{n+1}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=(1-2n)\cdot 2^{n+1}$

應用層次二：為整體換元和化簡、計算做准備。

引例 [初中]已知$x+x^{-1}=3$，求值：

$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$；

$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=2\sqrt{5}$；

$x^2+x^{-2}=7$；

例 [高中]若命題$“\exists x\in (0,2]$，不等式$e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”$為假命題，則實數$a$的取值范圍是【】

$A.(-\infty，\sqrt{2})$ $B.(-\infty，2\sqrt{2}]$ $C.(0，\sqrt{2}]$ $D.(2\sqrt{2}，+\infty)$

分析：選$B$；

引例 [初中]已知$2^a=3$，$4^b=5$，$8^c=7$，求$8^{a+c-2b}$的值；

法1：$8^{a+c-2b}=\frac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\frac{(2^a)^3\cdot 8^c}{2^{2b}\cdot (4^b)^2}=\frac{189}{125}$；

法2：$a=log_23$，$b=log_45$，$c=log_87$，

則$8^{a+c-2b}=\frac{8^a\cdot 8^c}{8^{2b}}=\frac{(2^3)^{log_23}\cdot 8^c}{(8^b)^2}=\frac{3^3\times 7}{[(2^3)^{\frac{1}{2}log_25}]^2}$

$=\frac{3^3\times 7}{2^{3log_25}}=\frac{27\times 7}{5^3}=\frac{189}{125}$

極易出錯

已知數列$\{lg(a_n+\cfrac{1}{2})\}$為首項為$lg2$，公比為$2$的等比數列；

求數列$\{a_n\}$的通項公式；

分析：$lg(a_n+\cfrac{1}{2})=lg2\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot lg2$

[說明：$2^{n-1}\cdot lg2\neq lg2^n=n\cdot lg2$，極易出錯，對數運算的級別要高於乘法運算，故先計算對數，再計算乘法]

即$lg(a_n+\frac{1}{2})=2^{n-1}\cdot lg2=lg2^{2^{n-1}}$[極易出錯]

則$a_n+\frac{1}{2}=2^{2^{n-1}}$，即$a_n=2^{2^{n-1}}-\frac{1}{2}$.

對數運算

⑴、對數恆等式：$a^{log_aN}=N(a>0，a\neq 1，N>0)$

證明：由$a^b=N$得到$b=log_aN$，代入$a^b=N$即得到$a^{log_aN}=N$。

公式的作用：從左到右是化簡，從右向左是常數指數化。

易錯 ①$2^{-log_23}=2^{log_23^{-1}}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}$； ②$4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10$；

③$7^{-log_7\frac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2$； ④$4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200$；

⑤求解對數不等式，$2^x>3\Longrightarrow 2^x>3=2^{log_23}\Longrightarrow x>log_23$；

當然也可以兩邊同時取以$2$為底的對數，得到$log_22^x>log_23$，即$x>log_23$；

⑥求解對數方程，$log_3[log_3(log_4\;^x)]=0$，

解得$log_3(log_4\;^x)=1$，解得$log_4\;^x=3$，解得$x=64$

⑦化簡求值：$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt{5}}$

法1：原式$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\frac{-1}{-1}log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\sqrt{5}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-1}}{\sqrt{5}}^{-1}}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{5})^{-1}}=5^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$

法2：原式$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\frac{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\sqrt{5}}$

$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{log_{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}}^{-1}}=5^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$

⑵、對數換底公式：$log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)$

證明：設$log_ab=x$，則$a^x=b$，兩邊取以$c$為底的對數，

得到$log_c{a^x}=log_cb$，即$xlog_ca=log_cb$，

即$log_ab=x=\cfrac{log_cb}{log_ca}$，則有$log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}$。

公式作用：公式從左到右，簡單變復雜，是為了便於下一步約分化簡；公式從右到左，直接將結果化簡為對數式。

常用結論：

①$log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad$；

證明：用換底公式得到，$\cfrac{lgb}{lga}\cdot \cfrac{lgc}{lgb}\cdot\cfrac{lgd}{lgc}=\cfrac{lgd}{lga}=log_ad$。

應用：$log_ab=\cfrac{1}{log_ba}$，即$log_ab\cdot log_ba=1$；

②遇到函數$f(x)=log_2x+log_x2(x\in[2，4])$時常可以考慮均值不等式或者對號函數。

如求函數$f(x)=log_2x+\cfrac{1}{log_2x}$的值域；利用換元法，可以轉化為求函數$f(x)=g(t)=t+\cfrac{1}{t}$，$t\in [1，2]$上的值域。

③若$log_{14}7=a$，$14^b=5$，用$a、b$表示$log_{35}28$；[為對數式的化簡求值做准備]

分析：由已知$log_{14}7=a$，$log_{14}5=b$，

則$log_{35}28=\cfrac{log_{14}28}{log_{14}35}=\cfrac{log_{14}\cfrac{14^2}{7}}{log_{14}35}=\cfrac{log_{14}14^2-log_{14}7}{log_{14}5+log_{14}7}=\cfrac{2-a}{a+b}$

⑶、$log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)$

證明：使用換底公式，

$log_{a^m}{b^n}=\cfrac{lgb^n}{lga^m}=\cfrac{nlgb}{mlga}=\cfrac{n}{m}\cdot\cfrac{lgb}{lga}=\cfrac{n}{m}log_ab$。

常用結論：$log_23=log_49$；$log_32=log_94$；$log_24=log_39$；$log_42=log_93$；$log_{2^3}5=log_{2^3}5^1=\cfrac{1}{3}log_25$；

根式運算

三次根式的分母有理化

如$(1-k)^3=\cfrac{1}{2}$，則有$k=1-\sqrt[3]{\cfrac{1}{2}}$

即$k=1-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}}=1-\cfrac{\sqrt[3]{4}}{2}$

如化簡$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$【二重根式的化簡】

分析：設$(a+b)^2=7+4\sqrt{3}$，由於是二重根式，

則有$\begin{cases}a^2+b^2=7\\2ab=4\sqrt{3}\end{cases}$，解得$a=2，b=\sqrt{3}$或$b=2，a=\sqrt{3}$

即有$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。

$\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{6}$
化簡$\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

分析：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}$

$=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$.

典例剖析

例1 【化簡計算】

①$(2\cfrac{1}{4})^{\frac{1}{2}}-(-2018)^0-(3\cfrac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}$

$=(\cfrac{9}{4})^{\frac{1}{2}}-1-(\cfrac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}$

$=[(\cfrac{3}{2})^2]^{\frac{1}{2}}-1-[(\cfrac{3}{2})^3]^{-\frac{2}{3}}+(\cfrac{3}{2})^{-2}$

$=\cfrac{3}{2}-1-(\cfrac{3}{2})^{-2}+(\cfrac{3}{2})^{-2}=\cfrac{1}{2}$。

②$\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}$

$=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\frac{1}{2}}+lg245^{\frac{1}{2}}$

$=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)$

$=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)$

$=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7$

$=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5$

$=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}$

③$(1\cfrac{7}{9})^{-\frac{1}{2}}+log_34\sqrt{3}-(\sqrt{n^2+1}-n)^{lg1}+log_5{35}-log_57$

$=(\cfrac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}+log_33^{\frac{1}{4}}-(\sqrt{n^2+1}-n)^0+log_55+log_57-log_7$

$=[(\cfrac{4}{3})^{2}]^{-\frac{1}{2}}+\cfrac{1}{4}-1+1$

$=\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{4}=1$

例1 【2020屆鳳翔中學高三理科月考一第14題】已知函數$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{1+log_2(2-x)，x<1}\\{2^{x-1}，x\geqslant 1,}\end{array}\right.$
則$f(-2)+f(log_212)$=_______________.

分析：由題目可知，$f(-2)=1+log_2[2-(-2)]=1+2=3$；又由於$log_212>1$，

故$f(log_212)=2^{log_212-1}=2^{log_212}\times 2^{-1}=12\times \cfrac{1}{2}=6$，

故$f(-2)+f(log_212)=9$；

例1 解關於$t$的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{log_3t\ge 0}\\{log_3(log_3t)\ge 0}\\{log_3[log_3(log_3t)]< 0}\end{array}\right.$，求$t$的取值范圍

分析：求解$log_3t\ge 0=log_31$得到$t\ge 1①$；

求解$log_3(log_3t)\ge 0=log_31$得到$t\ge 3②$；

求解$log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31$得到$3<t<27③$；

求交集得到$3<t<27$；

例2 【大小比較】比較$16^{18}$和$18^{16}$；

法1：作商法，$\cfrac{16^{18}}{18^{16}}=(\cfrac{16}{18})^{16}\cdot 16^2=(\cfrac{8}{9})^{16}\cdot 2^8=(\cfrac{64}{81})^{8}\cdot 2^8=(\cfrac{128}{81})^{8}>1$，

故$16^{18}>18^{16}$；

法2：取對數作差法，$lg16^{18}-lg18^{16}=18lg16-16lg18=72lg2-16(lg2+2lg3)=56lg2-32lg3>0$，

故$16^{18}>18^{16}$；

例3 大小比較：$log_34$和$log_45$；

法1：由於$log_34=log_3(3\times \cfrac{4}{3})=1+log_3 \cfrac{4}{3}$，

$log_45=log_4(4\times \cfrac{5}{4})=1+log_4\cfrac{5}{4}$，

因為底數都大於1，所以都是增函數，$\cfrac{4}{3}>\cfrac{5}{4}$，

則$log_3\cfrac{4}{3}>log_3\cfrac{5}{4}$，$log_3\cfrac{5}{4}>log_4\cfrac{5}{4}$，

所以$log_3\cfrac{4}{3}>log_4\cfrac{5}{4}$，即$log_34>log_45$；

法2：取$\cfrac{5}{4}$為中間量，

$log_34-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg4}{lg3}-\cfrac{5}{4}$

$=\cfrac{4lg4-5lg3}{4lg3}=\cfrac{lg\cfrac{4^4}{3^5}}{4lg3}>0$，

即$log_34>\cfrac{5}{4}$

$log_45-\cfrac{5}{4}=\cfrac{lg5}{lg4}-\cfrac{5}{4}$

$=\cfrac{4lg5-5lg4}{4lg4}=\cfrac{lg\cfrac{5^4}{4^5}}{4lg4}<0$，

即$log_45<\cfrac{5}{4}$，

即$log_34>log_45$；

例4 【對數的運算】求值：$log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}$

原式=$log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}$

$=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}$

$=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}$

例5 已知$2^x=3^y$，求$\cfrac{x}{y}$的值。

分析：令$2^x=3^y=k$，則$x=log_2k=\cfrac{1}{log_k2}$，$y=log_3k=\cfrac{1}{log_k3}$，

故$\cfrac{x}{y}=\cfrac{\frac{1}{log_k2}}{\frac{1}{log_k3}}=\cfrac{log_k3}{log_k2}=log_23=\cfrac{lg3}{lg2}$。

例6 計算$5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}$；

分析：本題目分三個步驟完成：

第一步，先計算$5$的指數位置的對數的真數的值，

$lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5$

$=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5$

$=lg5(1-lg2)=(lg5)^2$

這樣，原題目就轉化為$5^{log_{25}(lg5)^2}$；

第二步，再計算$5$的指數位置的對數的值，

$log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5$；

這樣，原題目再次轉化為$5^{log_5lg5}$；

第三步，利用對數恆等式求值，

$5^{log_5lg5}=lg5$；

故$5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5$；

例7 【2017全國卷1，文科第17題高考真題】記$S_n$為等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和，已知$S_2=2，S_3=-6$。

（1）求數列$\{a_n\}$的通項公式。

分析：本問比較簡單，你能說出怎么個簡單法嗎？

解方程組得到$a_1=-2，q=-2$，

故$\{a_n\}$的通項公式$a_n=-2\cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n$。

（2）求$S_n$，並判斷$S_{n+1}，S_n，S_{n+2}$是否成等差數列。

分析：先求解前$n$項和公式，

$S_n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}=\cfrac{-2+2\cdot (-1)^n\cdot 2^n}{3}$

$=-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}$。

接下來你得意識到，$S_n$是個關於自變量$n$的函數，故由此我們應該能寫出$S_{n+1}$，$S_{n+2}$

至於等差數列的判斷，我們依據等差中項法判斷即可，即驗證$S_{n+2}+S_{n+1}$是否等於$2S_n$。

判斷如下：$S_{n+2}+S_{n+1}$

$=-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}\cfrac{2^{n+3}}{3}-\cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}\cfrac{2^{n+2}}{3}$

$=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^2\cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^n\cdot (-1)^1\cfrac{2^{n+2}}{3}$

$=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}$

$=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n(\cfrac{2^{n+2}\cdot 2}{3}-\cfrac{2^{n+2}}{3})$

$=-\cfrac{4}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+2}}{3}$

$=2[-\cfrac{2}{3}+(-1)^n\cfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n$，

故$S_{n+1}，S_n，S_{n+2}$成等差數列。

例8 對正整數$n$，設曲線$y=x^n(1-x)$在$x=2$處的切線與$y$軸交點的縱坐標為$a_n$，則數列$\{\cfrac{a_n}{n+1}\}$的前$n$項和的公式是________.

分析：$y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}$，則$f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n$，

則$k=f'(2)=n\cdot 2^{n-1}-(n+1)\cdot 2^n=n\cdot 2^{n-1}-(n+1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2$

$=n\cdot 2^{n-1}-(2n+2)\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}\cdot (n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^{n-1}$

又切點為$(2，-2^n)$，則切線方程為$y-(-2^n)=-(n+2)\cdot 2^{n-1}\cdot (x-2)$，

令$x=0$，得到切線與$y$軸交點的縱坐標$y=(n+2)\cdot 2^{n}-2^n=(n+1)\cdot 2^n=a_n$，

令$b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n$，數列$\cfrac{a_n}{n+1}$的前$n$項和為

$T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$；

例9 解對數方程：$log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2$

分析：要使得原方程成立，必須先滿足條件$9^{x-1}-5>0①$， $3^{x-1}-2>0②$，

在此前提下，原方程等價於$log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)$;

即$9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)$，

即$9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0$，

即$(3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0$，

即 $3^{x-1}=1$，或者$3^{x-1}=3$，

解$3^{x-1}=1$，即$3^{x-1}=3^0$，解得$x=1$，

解$3^{x-1}=3$，即$3^{x-1}=3^1$，解得$x=2$，

驗證：將$x=1$和$x=2$代入①②兩式，舍去$x=1$，保留$x=2$，

故方程的根為$x=2$。

例10 求值：$5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}$

分析：設$5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x$，兩邊同時取對數，

得到$lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]$，

即$lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}$

即$lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)$

即$lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3$

即$lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5$

即$lgx=lg3+lg5=lg15$，

即$x=15$；

例11 已知$a，b>0$，且滿足$2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)$，求$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}$的值；

分析：引入正數因子$k$，令$2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)$，

則由$2+log_2a=log_24a=k$，得到$4a=2^k$，即$a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}$；

由$3+log_3b=log_327b=k$，得到$27b=3^k$，即$b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}$；

由$log_6(a+b)=k$，得到$a+b=6^k$；

則$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}$

$=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}=2^2\cdot 3^3=108$

例12 【2019屆高三理科對數與對數函數課時作業習題第14題】

設$2^a=5^b=m$，且$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=2$，則$m$=_____________。

分析：將指數式轉化為對數式，可得$a=log_2m$，$b=log_5m$，

則$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{log_2m}+\cfrac{1}{log_5m}=log_m2+log_m5=log_m10=2$，

即$m^2=10$，又$2^a=m>0$，故$m=\sqrt{10}$。

例13 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】【難點題目，綜合程度高，對學生的運算能力要求很高】

已知正項等比數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$7S_6=3S_9$，$a_4=2$，則數列$\{a_{3n-2}+log_2a_n\}$的前$10$項的和$T_{10}$=____________。

分析：先由條件容易判定，$q\neq 1 $，由$7S_6=3S_9$，得到$7\times \cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3\times \cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q}$

轉化得到$3q^9-7q^6+4=0$，令$q^3=t$，變形為$3t^3-7t^2+4=0$，

即$3t^3-3t^2-4t^2+4=0$，即$3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=(t-1)(3t^2-4t-4)=0$，

解得$t=1$(舍去)，$t=-\cfrac{2}{3}$(舍去)，$t=2$；

即$t=q^3=2$，則$a_n=a_4\cdot q^{n-4}=2q^{n-4}$，

則$a_{3n-2}=2\cdot q^{3n-6}=2\cdot (q^3)^{n-2}=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}$；

$log_2a_n=log_22\cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_2q^3$

$=1+(n-4)\cdot \cfrac{1}{3}log_22=1+\cfrac{n-4}{3}$；

則$T_{10}=(2^0+2^1+\cdots+2^9)+[(1+\cfrac{-3}{3})+(1+\cfrac{-2}{3})+\cdots+(1+\cfrac{6}{3})$

$=\cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+\cfrac{1}{3}\times\cfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038$;

解后反思：巧妙利用指數冪的運算性質，可以大大簡化本題目的運算過程，降低運算難度。

例14 【2016浙江卷】已知$a>b>1$，若$log_ab+log_ba=\cfrac{5}{2}$，$a^b=b^a$，則$a=4$，$b=2$。

分析：令$log_ba=t$，則$t>1$，由於$t+\cfrac{1}{t}=\cfrac{5}{2}$，所以$t=2$，則$a=b^2$，

代入$a^b=b^a$，得到$b^{2b}=b^{b^2}$，則$b^2=2b$，故$b=2$，$a=4$。

例15 【學生運算訓練】已知等比數列的通項公式$a_n=2^n$，前$n$項和為$S_n$，解不等式$16S_n\leqslant 31a_n$；

分析：由等比數列的通項公式$a_n=2^n$，得到$S_n=2^{n+1}-2$，代入不等式得到

$16(2^{n+1}-2)\leqslant 31\cdot 2^n$，即$16\cdot 2^n\cdot 2-32\leqslant 31\cdot 2^n$

即$32\cdot 2^n-31\cdot 2^n\leqslant 32$，即$2^n\leqslant 32$，

解得$n\leqslant 5$，又$n\in N^*$，

故$n=1,2,3,4,5$；