【NOIP2016】天天愛跑步

【NOIP2016】天天愛跑步

描述

小C同學認為跑步非常有趣，於是決定制作一款叫做《天天愛跑步》的游戲。《天天愛跑步》是一個養成類游戲，需要玩家每天按時上線，完成打卡任務。

這個游戲的地圖可以看作一棵包含n個結點和n - 1條邊的樹，每條邊連接兩個結點，且任意兩個結點存在一條路徑互相可達。樹上結點編號為從1到n的連續正整數。

現在有m個玩家，第i個玩家的起點為Si，終點為Ti。每天打卡任務開始時，所有玩家 在第0秒 同時從 自己的起點 出發，以 每秒跑一條邊 的速度，不間斷地沿着最短路徑向着 自己的終點 跑去，跑到終點后該玩家就算完成了打卡任務。（由於地圖是一棵樹，所以每個人的路徑是唯一的）

小C想知道游戲的活躍度，所以在每個結點上都放置了一個觀察員。在結點j的觀察員會選擇在第Wj秒觀察玩家，一個玩家能被這個觀察員觀察到當且僅當該玩家在第Wj秒也 正好 到達了結點j。小C想知道每個觀察員會觀察到多少人？

注意： 我們認為一個玩家到達自己的終點后該玩家就會結束游戲，他不能等待一段時間后再被觀察員觀察到。即對於把結點j作為終點的玩家：若他在第Wj秒前到達 終點，則在結點j的觀察員 不能觀察到 該玩家；若他 正好 在第Wj秒到達終點，則在結點j的觀察員 可以觀察到 這個玩家。

格式

輸入格式

第一行有兩個整數n和m。其中n代表樹的結點數量，同時也是觀察員的數量， m代表玩家的數量。

接下來n - 1行每行兩個整數u和v，表示結點u到結點v有一條邊。

接下來一行n個整數，其中第j個整數為Wj，表示結點j出現觀察員的時間。 接下來m行，每行兩個整數Si和Ti，表示一個玩家的起點和終點。

對於所有的數據，保證1 <= Si, Ti <= n，0 <= Wj <= n。

輸出格式

輸出1行n個整數，第j個整數表示結點j的觀察員可以觀察到多少人。

樣例1

樣例輸入1

6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6

樣例輸出1

2 0 0 1 1 1

樣例2

樣例輸入2

5 3
1 2
2 3
2 4
1 5
0 1 0 3 0
3 1
1 4
5 5

樣例輸出2

1 2 1 0 1

限制

每個測試點時限2秒。

【子任務】

每個測試點的數據規模及特點如下表所示。提示：數據范圍的個位上的數字可以幫助判斷是哪一種數據類型。

提示

【樣例1說明】

對於1號點，W1=0，故只有起點為1號點的玩家才會被觀察到，所以玩家1和玩家2被觀察到，共2人被觀察到。

對於2號點，沒有玩家在第2秒時在此結點，共0人被觀察到。

對於3號點，沒有玩家在第5秒時在此結點，共0人被觀察到。

對於4號點，玩家1被觀察到，共1人被觀察到。

對於5號點，玩家2被觀察到，共1人被觀察到。

對於6號點，玩家3被觀察到，共1人被觀察到。

 

Solution

© 題目大意：給你一棵樹，經過每一條邊的時間為1.告訴你個人分別從各自的起點到各自的終點，每一個節點有一個時間w_i，問你每一個節點在w_i這一刻能看到幾個人在自己這一個節點。

© 題解：

　　這道題可能會想到的一個暴力解法：LCA。模擬路徑，逐個標記。但是這是沒有必要的。

　　對於樹上的一個節點i，如果起點在他的子樹內，終點不在，那么要在這個點看到這個人的充要條件就是w[i]+deep[i]==deep[s]（深度之差就是時間之差）。

　　對於樹上的一個節點i，如果終點在他的子樹內，起點不在，那么要在這個點看到這個人的充要條件就是dis(s,t)-w[i]==deep[t]-deep[i]（t為終點，s為起點）（路徑長度-i節點觀測的時間，就是剩下的從i到終點的時間，也就是深度差了。）

　　然后LCA使用倍增來求解。我們把這兩種狀態分開來統計答案，那么需要使用動態數組，將si加入到si與ti的LCA處。然后按照dfs序，每次統計這課子樹有多少個路徑的起點，使用一個深度的桶來裝這一個深度有多少的起點（已經搜過的點內）。那么來到點i記下last，遞歸回溯之后再次到達點i，就可以利用桶，以及last與結論（w[i]+deep[i]==deep[s]）來ans[i]+=某一個深度的起點的數量即可。要注意一點，統計完答案之后，要把當前這一個點的動態數組中的點從桶中移走。目的就在於使用結論的條件是“如果起點在他的子樹內，終點不在。”，故不能將他算在內，之前“將si加入到si與ti的LCA處。”的目的就在於此。

　　桶清空一下。

　　對於終點的狀態，我們一樣的來考慮即可但是最好移一下項，就是“deep[i]-w[i]==deep[t]-dis(s,t)”我們把深度deep[t]-dis(s,t)加入到que1[t]中，同事加入到que2[lca]中，每搜到一個點，就把這一個點的que1中的深度加入到桶中，統計了答案之后（查詢“deep[i]-w[i]”來累計答案），在把這個點que2中的深度減去。

　　最后如果起點和終點的LCA就是起點或終點本身的話，在上面兩種情況中，會被重復統計，最后在將所有的LCA的ans--就行了。利用“w[i]+deep[i]==deep[s]”，也就是if(deep[s]-deep[lca]==w[i])ans[lca]--;

© Attention：天天愛跑步的思想可以運用到很多題目中間，在推式子的時候，將與一個點有關的變量全部移動到等式的一邊，就可以使用桶來統計答案了。

 

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define RG register
#define LL long long
#define push push_back
#define fre(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
const int MAXN=1000000,eps=300000;
int n,m,num;
int w[MAXN],S[MAXN],T[MAXN],len[MAXN],tot[MAXN],CNT[MAXN];
int LCA[MAXN],Bu[MAXN],dep[MAXN],fa[MAXN][20],ans[MAXN];
int head[MAXN],to[MAXN],Next[MAXN];
vector<int>que1[MAXN],que2[MAXN],que3[MAXN];
void add(int f,int t)
{
   Next[++num]=head[f];
   to[num]=t;
   head[f]=num;
}
void dfs1(int u,int FA)
{
   for(int i=head[u];i;i=Next[i])
      {
         int v=to[i];
         if(v==FA)continue;
         fa[v][0]=u;
         dep[v]=dep[u]+1;
         dfs1(v,u);
      }
}
void dfs2(int u,int FA)
{
   int now=dep[u]+w[u],last=Bu[now];
   for(int i=head[u];i;i=Next[i])
      {
         int v=to[i];
         if(v==FA)continue;
         dfs2(v,u);
      }
   Bu[dep[u]]+=CNT[u];
   ans[u]=Bu[now]-last;
   for(int i=0;i<que1[u].size();i++) Bu[dep[que1[u][i]]]--;
}
void dfs3(int u,int FA)
{
   int now=dep[u]-w[u],last=Bu[now+eps];
   for(int i=head[u];i;i=Next[i])
      {
         int v=to[i];
         if(v==FA)continue;
         dfs3(v,u);
      }
   for(int i=0;i<que2[u].size();i++) Bu[que2[u][i]+eps]++;
   ans[u]+=Bu[now+eps]-last;
   for(int i=0;i<que3[u].size();i++) Bu[que3[u][i]+eps]--;
}
int getlca(int x,int y)
{
   if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); int Val=dep[x]-dep[y];
   for(int j=0;j<=19;j++) if(Val&(1<<j)) x=fa[x][j]; if(x==y)return x;
   for(int j=19;j>=0;j--) if(fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];
   return fa[x][0];
}
int main()
{
   scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1,a,b;i<n;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); add(a,b); add(b,a); }
   for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
   dep[1]=1; dfs1(1,0);
   for(int j=1;j<=19;j++)
      for(int i=1;i<=n;i++)
         fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
   for(int i=1;i<=m;i++)
      {
         scanf("%d%d",&S[i],&T[i]);
         CNT[S[i]]++;//這一個點有多少個起點。
         LCA[i]=getlca(S[i],T[i]);
         len[i]=dep[S[i]]+dep[T[i]]-2*dep[LCA[i]];
         que1[LCA[i]].push(S[i]);
      }
   dfs2(1,0);
   memset(Bu,0,sizeof Bu);
   for(int i=1;i<=m;i++)
      {
         que2[T[i]].push(dep[T[i]]-len[i]);
         que3[LCA[i]].push(dep[T[i]]-len[i]);
      }
   dfs3(1,0);
   for(int i=1;i<=m;i++)
      if(dep[S[i]]-dep[LCA[i]]==w[LCA[i]])
         ans[LCA[i]]--;
   for(int i=1;i<=n;i++)
      printf("%d",ans[i]);
   return 0;
}