用二分法定義平方根函數（Bisection method Square Root Python)

Python里面有內置（Built-in）的平方根函數：sqrt()，可以方便計算正數的平方根。那么，如果要自己定義一個sqrt函數，該怎么解決呢？

 

解決思路：

 1. 大於等於1的正數n的方根，范圍肯定在0~n之間；小於1的正數n的方根，范圍肯定在0~1之間

 2. 用二分法（Bisection method, Binary search）從中間開始找n的方根。

 3. 對於大於等於1的正數n，先假設n/2是n的方根，如果n/2的平方大於n，那么說明n的方根在0~n/2之間；如果n/2的平方小於n，說明n的方根在n/2~n之間。以此類推。。

 4. 對於小於1的正數n，先假設0.5是n的方根，方法同上

這樣做的好處是，每次都可以去掉一半可能的值。因此，搜索的范圍越來越小。

I------------------------I-------------------------I

0                          n/2                            n

 

舉例來說，如果是求8的平方根，那么先假設8的平方根是4；

4的平方是16，16大於8，因此8的平方根范圍縮小到0~4之間；

繼續假設8的平方根是2，2的平方是4，4小於8，因此8的平方根范圍縮小到2~4之間；

繼續假設8的平方根是3，3的平方是9，9大於8，因此8的平方根范圍縮小到2~3之間；

以此類推。。。

 

代碼如下：

def sqrt_bi(n):
    '''為了方便起見，先假設n為正數'''
    low=0   #設置下限為0
    high=max(n,1)   #設置上限為n和1之中的最大數，即：如果n>=1，那么上限為n；如果n<1，那么上限為1
    guess=(low+high)/2   #先從中間值開始猜
    count=1   #設置猜測次數起始值為1
    while abs(guess**2-n)>0.00000000000000000001 and count<100: #當猜測值的平方和n本身的差值無限接近誤差值時，循環才會停止；同時設置猜測次數不超過100次
        if guess**2<n:  #如果猜測值的平方小於n，那么將此設為下限
            low=guess
        else:           #如果猜測值的平方大於n，那么將此設為上限
            high=guess
        guess=(low+high)/2  #根據新的上下限，重新進行猜測
        count+=1    #猜測次數每次增加1
    return guess

* 這里，我將0.00000000000000000001設為epsilon（誤差值，epsilon為接近0值的浮點數）。epsilon越接近0，算出的方根值就越精確。

調用此函數試一下，同時與python自帶的sqrt函數進行對比：

print(sqrt_bi(8))
import math
print(math.sqrt(8))

運行結果如下：

2.82842712474619
2.8284271247461903

 

python自帶的sqrt函數比sqrt_bi函數還要更精確一些。

 

參考：麻省理工學院公開課：計算機科學及編程導論 （第5課）