參考：https://wrf.ecse.rpi.edu//Research/Short_Notes/pnpoly.html
在GIS（地理信息管理系統）中，判斷一個坐標是否在多邊形內部是個經常要遇到的問題。乍聽起來還挺復雜。根據W. Randolph Franklin 提出的PNPoly算法，只需區區幾行代碼就解決了這個問題。
假設多邊形的坐標存放在一個數組里，首先我們需要取得該數組在橫坐標和縱坐標的最大值和最小值，根據這四個點算出一個四邊型，首先判斷目標坐標點是否在這個四邊型之內，如果在這個四邊型之外，那可以跳過后面較為復雜的計算，直接返回false。
if (p.x < minX || p.x > maxX || p.y < minY || p.y > maxY) {
// 這個測試都過不了。。。直接返回false；
}
接下來是核心算法部分：
int pnpoly(int nvert, float *vertx, float *verty, float testx, float testy)
{
int i, j, c = 0;
for (i = 0, j = nvert-1; i < nvert; j = i++) {
if ( ((verty[i]>testy) != (verty[j]>testy)) &&
(testx < (vertx[j]-vertx[i]) * (testy-verty[i]) / (verty[j]-verty[i]) + vertx[i]) )
c = !c;
}
return c;
}
| Argument | Meaning |
|---|---|
| nvert | Number of vertices in the polygon. Whether to repeat the first vertex at the end is discussed below. |
| vertx, verty | Arrays containing the x- and y-coordinates of the polygon's vertices. |
| testx, testy | X- and y-coordinate of the test point. |
額，代碼就這么簡單，但到底啥意思呢：
首先，參數nvert 代表多邊形有幾個點。浮點數testx, testy代表待測試點的橫坐標和縱坐標，*vertx,*verty分別指向儲存多邊形橫縱坐標數組的首地址。
我們注意到，每次計算都涉及到相鄰的兩個點和待測試點，然后考慮兩個問題：
1. 被測試點的縱坐標testy是否在本次循環所測試的兩個相鄰點縱坐標范圍之內？即
verty[i] <testy < verty[j]
或者
verty[j] <testy < verty[i]
2. 待測點test是否在i,j兩點之間的連線之下？看不懂后半短if statement的朋友請自行在紙上寫下i,j兩點間的斜率公式，要用到一點初中解析幾何和不等式的知識范疇，對廣大碼農來說小菜一碟。
然后每次這兩個條件同時滿足的時候我們把返回的布爾量取反。
可這到底是啥意思啊？
這個表達式的意思是說，隨便畫個多邊形，隨便定一個點，然后通過這個點水平划一條線，先數數看這條橫線和多邊形的邊相交幾次，（或者說先排除那些不相交的邊，第一個判斷條件），然后再數這條橫線穿越多邊形的次數是否為奇數，如果是奇數，那么該點在多邊形內，如果是偶數，則在多邊形外。詳細的數學證明這里就不做了，不過讀者可以自行畫多邊形進行驗證。
判斷一個點是否在多邊形內部 - 射線法思路
比如說，我就隨便塗了一個多邊形和一個點，現在我要給出一種通用的方法來判斷這個點是不是在多邊形內部（別告訴我用肉眼觀察……）。
首先想到的一個解法是從這個點做一條射線，計算它跟多邊形邊界的交點個數，如果交點個數為奇數，那么點在多邊形內部，否則點在多邊形外。
這個結論很簡單，那它是怎么來的？下面就簡單講解一下。
首先，對於平面內任意閉合曲線，我們都可以直觀地認為，曲線把平面分割成了內、外兩部分，其中“內”就是我們所謂的多邊形區域。
基於這一認識，對於平面內任意一條直線，我們可以得出下面這些結論：
直線穿越多邊形邊界時，有且只有兩種情況：進入多邊形或穿出多邊形。
在不考慮非歐空間的情況下，直線不可能從內部再次進入多邊形，或從外部再次穿出多邊形，即連續兩次穿越邊界的情況必然成對。
直線可以無限延伸，而閉合曲線包圍的區域是有限的，因此最后一次穿越多邊形邊界，一定是穿出多邊形，到達外部。 
現在回到我們最初的題目。假如我們從一個給定的點做射線，還可以得出下面兩條結論：
如果點在多邊形內部，射線第一次穿越邊界一定是穿出多邊形。
如果點在多邊形外部，射線第一次穿越邊界一定是進入多邊形。 
把上面這些結論綜合起來，我們可以歸納出：
當射線穿越多邊形邊界的次數為偶數時，所有第偶數次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇數次（包括第一次）穿越為穿入，由此可推斷點在多邊形外部。 
當射線穿越多邊形邊界的次數為奇數時，所有第奇數次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推斷點在多邊形內部。
到這里，我們已經了解了這個解法的思路，大家可以試着自己寫一個實現出來。
不知道大家思考得怎么樣，有沒有遇到一些不好處理的特殊情況。今天就來講講射線法在實際應用中的一些問題和解決方案。
1點在多邊形的邊上
前面我們講到，射線法的主要思路就是計算射線穿越多邊形邊界的次數。那么對於點在多邊形的邊上這種特殊情況，射線出發的這一次，是否應該算作穿越呢？
看了上面的圖就會發現，不管算不算穿越，都會陷入兩難的境地——同樣落在多邊形邊上的點，可能會得到相反的結果。這顯然是不正確的，因此對這種特殊情況需要特殊處理。
2點和多邊形的頂點重合
這其實是第一種情況的一個特例。
3射線經過多邊形頂點
射線剛好經過多邊形頂點的時候，應該算一次還是兩次穿越？這種情況比前兩種復雜，也是實現中的難點，后面會講解它的解決方案。
4射線剛好經過多邊形的一條邊
這是上一種情況的特例，也就是說，射線連續經過了多邊形的兩個相鄰頂點。
解決方案：
1判斷點是否在線上的方法有很多，比較簡單直接的就是計算點與兩個多邊形頂點的連線斜率是否相等，中學數學都學過。
2點和多邊形頂點重合的情況更簡單，直接比較點的坐標就行了。
3頂點穿越看似棘手，其實我們換一個角度，思路會大不相同。先來回答一個問題，射線穿越一條線段需要什么前提條件？沒錯，就是線段兩個端點分別在射線兩側。只要想通這一點，頂點穿越就迎刃而解了。這樣一來，我們只需要規定被射線穿越的點都算作其中一側。
如上圖，假如我們規定射線經過的點都屬於射線以上的一側，顯然點D和發生頂點穿越的點C都位於射線Y的同一側，所以射線Y其實並沒有穿越CD這條邊。而點C和點B則分別位於射線Y的兩側，所以射線Y和BC發生了穿越，由此我們可以斷定點Y在多邊形內。同理，射線X分別與AD和CD都發生了穿越，因此點X在多邊形外，而射線Z沒有和多邊形發生穿越，點Z位於多邊形外。
解決了第三點，這一點就毫無難度了。根據上面的假設，射線連續經過的兩個頂點顯然都位於射線以上的一側，因此這種情況看作沒有發生穿越就可以了。由於第三點的解決方案實際上已經覆蓋到這種特例，因此不需要再做特別的處理。