關於ArcTan的一個公式--ArcTan(a)+ArcTan(b)

關於ArcTan的一個公式--ArcTan(a)+ArcTan(b)

  今天在查ArcTan的公式ArcTan(a)+ArcTan(b)的時候，發現現在網上能查到的都是錯的。先看一下百度百科和互動百科寫的。

  可以看到是一樣的，都是arctanA+arctanB = arctan[(A+B)/(1-AB)]
  我們來看一下這個公式當A=2，B=3的時候就是不對的
 
  我們可以看到當a=2，b=3時，兩者的差是Pi，很顯然是不對的。
 
  那么公式究竟應該是什么呢，我們首先去看一下原來那個公式是怎么推導出來的。
  在網山找到了推到的過程(我改動了一下，原版有錯誤)：
 

令a=arctanA,b=arctanB
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana×tanb)=(A+B)/(1-AB)
所以
arctanA+arctanB
=a+b
=arctan(tan(a+b))
=arctan[(A+B)/(1-AB)]

乍一看好像沒什么錯誤，都很對。我也是一開始覺得沒什么問題。

后來發現問題就出在下面這一步上

arctan(tan(a+b))=arctan[(A+B)/(1-AB)]

我們可以看到進行arctan運算，后面要加上k*Pi，這就是為什么我們上面結果多了Pi的原因。
其實推導也就是最后一步要改正一下，改完后如下：

令a=arctanA,b=arctanB
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana×tanb)=(A+B)/(1-AB)
所以
arctanA+arctanB
=a+b
=arctan(tan(a+b))
=arctan[(A+B)/(1-AB)]+k*Pi   //其中k為0或1

改動都在最后一句。

最后我們來看一下為什么進行arctan運算要加上k*Pi

我們可以看到其實arctan(-1)既可以是-45度也可以是135度，要看a，b這兩個角度來看是否要加上Pi，若兩者和在二三象限，既要加Pi，否則不要加。
其實我們也可以得到在一四象限的兩個角的Tan相成，乘積不大於1。

我已經去百度百科那里編輯了。

以上，所有
2017/3/8