一個簡單的離散傅里葉變換公式如下面所示
X(k) = ∑<N>x(n)e-j2πkn/N, k = 0,1,2```N-1
傅里葉變換用於分析時域信號中的頻域成分，即從時域信號x(n)得到頻域信號X(k)
這里的∑<N>表示對求和項從n=0加到N-1，為N點傅里葉變換，輸入時域信號為N個，輸出頻域信號也為N個
看一個簡單的例子
x(t) = sin(2π*1000*t) + 0.5sin(2π*2000*t+3*π/4)
它由一個1kHz的信號和一個2kHz的信號組成，頻率成分非常明顯，所以我們能一眼看出，而有些信號則不是那么明顯，則可以借助傅里葉變換來求出頻率成分
此處以該簡單例子驗證，也可以說是做一個簡單的傅里葉變換的演示。
為了對該信號進行處理，我們需要對它進行采樣，假設采樣頻率為fs=8kHz，以n為采樣得到的值的索引，並以此為變量重新表示上述信號為
x(n) = sin(2π*1000*n/8000) + 0.5sin(2π*2000*n/8000+3*π/4)
並設N=8即做8個點的DFT變換，下面我們將借助MATLAB工具進行計算和演示
首先我們使用MATLAB畫出x(t)的波形，如下圖
圖中x軸的數字為我為了繪制該波形所用到的信號的個數，不要與時間單位秒對應，知道這里顯示了兩個周期的信號即可
下面再給出一組8點DFT輸入信號的圖示
圖中的8個點即我們使用8倍於信號周期（8kHz）采樣所得到的一個周期的樣本，利用這8個數據，我們便可以利用DFT求得其頻率成分
在MATLAB中，直接調用FFT並將結果用圖形顯示如下，FFT為計算DFT的一種快速算法，其結果和直接使用DFT是一樣的
如上圖，我們可以看到，計算的結果和我們已知吻合。計算得到信號中有1kHz和2kHz的頻率成分，且幅值前者為后者兩倍
這里有個小點，上面4個圖除了其中一個都是由FFT的計算結果直接繪制的，由於MATLAB對於0的表示，或者說是機器計算原本應該是0的值，它得到了一個很小的值（這很正常），所以用調用angle函數求得的相位是不正確的，
我直接根據正確的結果而繪制了相位圖
關於頻域信號的單位，很簡單，采樣率為fs的信號做N點DFT，所得到的頻域信號單位為
fanalysis(k) = k*fs/N
對於我們的例子，fs為8kHz，N為8，則對應X(k)當k為0時為直流量，k為1時為1kHz頻率成分，依此類推
從上圖我們還可以看到X(k)信號具有某種對稱性，准確的關系為
X(k) = X(k+N/2)*
即X(k)與X(k+N/2)共軛，也就是說，對於N點頻域信號，只有N/2個點的信號是獨立的
所以雖然從圖中看出好像是有6kHz和7kHz的信號成分，但實際上是不存在的，這也符合奈奎斯特采樣定理，采樣頻率必須大於兩倍的信號頻率，從側面反應出用8kHz去采樣最多只能采到4kHz以內的信號
所以我們可以看到，采樣率和做幾個點的DFT運算很關鍵，假設我們讓N=4，則就得不到1kHz頻率成分的情況
最后再解釋頻域幅值大小與時域幅值大小的關系，這里我們的輸入信號為實數信號，對應頻域幅值為時域幅值的N/2倍
寫在最后，剛剛接觸信號處理，寫點東西整理下思路。文中的例子來自Lyons的Understanding Digital Signal Processing，這是一本很不錯的教材，強烈推薦