php算法基礎----時間復雜度和空間復雜度

算法復雜度分為時間復雜度和空間復雜度。

其作用：
時間復雜度是指執行算法所需要的計算工作量；
而空間復雜度是指執行這個算法所需要的內存空間。
（算法的復雜性體現在運行該算法時的計算機所需資源的多少上，計算機資源最重要的是時間和空間（即寄存器）資源，因此復雜度分為時間和空間復雜度）。

簡單來說，時間復雜度指的是語句執行次數，空間復雜度指的是算法所占的存儲空間

時間復雜度
計算時間復雜度的方法：

1. 用常數1代替運行時間中的所有加法常數
2. 修改后的運行次數函數中，只保留最高階項
3. 去除最高階項的系數

按數量級遞增排列，常見的時間復雜度有：
常數階O(1),對數階O(log2n),線性階O(n),
線性對數階O(nlog2n),平方階O(n^2)，立方階O(n^3),…，
k次方階O(n^k),指數階O(2^n)。
隨着問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

舉個栗子:

sum = n*(n+1)/2;  //時間復雜度O(1)

 

for(int i = 0; i < n; i++){ printf("%d ",i); } //時間復雜度O(n)

 

for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < n; j++){ printf("%d ",i); } } //時間復雜度O(n^2)

 

for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = i; j < n; j++){ printf("%d ",i); } } //運行次數為(1+n)*n/2 //時間復雜度O(n^2)

int i = 0, n = 100; while(i < n){ i = i * 2; } //設執行次數為x. 2^x = n 即x = log2n //時間復雜度O(log2n)

最壞時間復雜度和平均時間復雜度
　最壞情況下的時間復雜度稱最壞時間復雜度。一般不特別說明，討論的時間復雜度均是最壞情況下的時間復雜度。
　這樣做的原因是：最壞情況下的時間復雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的上界，這就保證了算法的運行時間不會比任何更長。
　平均時間復雜度是指所有可能的輸入實例均以等概率出現的情況下，算法的期望運行時間。設每種情況的出現的概率為pi,平均時間復雜度則為sum(pi*f(n))
　

常用排序算法的時間復雜度

    最差時間分析  平均時間復雜度 穩定度     空間復雜度   
冒泡排序    O(n2) O(n2) 穩定 O(1) 快速排序 O(n2) O(n*log2n) 不穩定 O(log2n)~O(n) 選擇排序 O(n2) O(n2) 穩定 O(1) 二叉樹排序 O(n2) O(n*log2n) 不穩定 O(n) 插入排序 O(n2) O(n2) 穩定 O(1) 堆排序 O(n*log2n) O(n*log2n) 不穩定 O(1) 希爾排序 O O 不穩定 O(1)

空間復雜度
空間復雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。

對於一個算法來說，空間復雜度和時間復雜度往往是相互影響的。當追求一個較好的時間復雜度時，可能會使空間復雜度的性能變差，即可能導致占用較多的存儲空間；反之，當追求一個較好的空間復雜度時，可能會使時間復雜度的性能變差，即可能導致占用較長的運行時間。

有時我們可以用空間來換取時間以達到目的。