動態規划算法3——最長上升子序列

本文作者frankchenfu，blogs網址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，轉載請保留此文字。

今天我們要講的是最長上升子序列（LIS）。

 

【題目描述】

給定N個數，求這N個數的最長上升子序列的長度。

【樣例輸入】

7

2 5 3 4 1 7 6

【樣例輸出】

4

 

什么是最長上升子序列？ 就是給你一個序列，請你在其中求出一段不斷嚴格上升的部分，它不一定要連續。

就像這樣：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的兩種選取方案。最長的長度是4.

那么，怎么求出它的最大上升子序列長度為4呢？這里介紹兩種方法，都是以動態規划為基礎的。

 

首先，我們先介紹較慢（O（$n^2$））的方法。我們記num為到這個數為止，最長上升子序列的長度。

這種方法就是每一次尋找“可以接下去的”，換句話說，設原序列為a，則

當$a_j<a_i (j<i)$且$num_j +1>num_i$時，$ num_i=num_j +1$。

對於每一個數，他都是在“可以接下去”的中，從前面的最優值+1轉移而來。

因此，這個算法是可以求出正確答案的。復雜度很明顯，外層i枚舉每個數，內層j枚舉目前i的最優值，即O（$n^2$）。

 

那么，有沒有更快的方法呢？當然有。這回要用到二分。

我們回想一下，在上面O（$n^2$）的程序中，哪些地方看起來比較費時？

沒錯，就是內層用於更新i的循環。因為每一次他都要查找一遍，效率並不高。

回到題目，我們發現，他只要我們求長度，所以？

我們可以模擬一個棧。

所以每遇到一個比棧頂元素大的數，就放進棧里，遇到比棧頂元素小的就二分查找前邊的元素，找到一個“最應該被換掉的元素”，用新數去更新前邊的元素。

這個算法不難證明也是正確的。因為前面每一次的枚舉都換成了二分，內層的復雜度從$n$降到了$log_2$，外層不變。所以總的復雜度是O($n log_2n$)。

 

接下來，我先給出朴素算法的代碼。

#include<cstdio>
const int MAX=1001;
int a[MAX];
int lis(int x)
{
    int num[MAX];
    for(int i=0;i<x;i++)
    {
        num[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
                   num[i]=num[j]+1;
        }
    }
    int maxx=0;
    for(int i=0;i<x;i++)
        if(maxx<num[i])
            maxx=num[i];
    return maxx;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    return !printf("%d\n",lis(n));
}

這個則是二分算法的代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;

int a[MAXN];
int d[MAXN];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
            d[++len]=a[i];
        else
        {
            int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
            d[j]=a[i]; 
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

 

類似的，我們可以通過二分查找中改變“上確界”和“下確界”，以及符號（“<”和“<=”或“>”、“>=”等），求出最長不下降、不上升、嚴格下降子序列等問題。

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