本文是我對博友 BIT祝威 和Grandyang ,以及寒小陽關於最長回文子串上關於馬拉車算法理解的整理，若是對我的整理有所不懂得，建議去看BIT祝威的博客，很詳細，以下純屬個人不成熟的理解。
首先，得先了解什么是回文串（我之前就不是很了解，汗）。回文串就是正反讀起來就是一樣的，如“abba”。關於采用時間復雜度為O(n^2)，以每個字符為中心去向兩端遍歷尋找最大回文串的方法，可以見我之前些的博客，戳這里！
當我們遇到字符串為“aaaaaaaaa”，之前的算法就會發生各個回文相互重疊的情況，會產生重復計算，然后就產生了一個問題，能否改進？答案是能，1975年，一個叫Manacher發明了Manacher Algorithm算法，俗稱馬拉車算法，其時間復雜為O(n)。該算法是利用回文串的特性來避免重復計算的，至於如何利用，且由后面慢慢道來。
在時間復雜度為O(n^2)的算法中，我們在遍歷的過程要考慮到回文串長度的奇偶性，比如說“abba”的長度為偶數，“abcba”的長度為奇數，這樣在尋找最長回文子串的過程要分別考奇偶的情況，是否可以統一處理了？
馬拉車算法：
一）第一步是改造字符串S，變為T，其改造的方法如下：
在字符串S的字符之間和S的首尾都插入一個“#”，如：S=“abba”變為T="#a#b#b#a#" 。我們會發現S的長度是4，而T的長度為9，長度變為奇數了！！那S的長度為奇數的情況時，變化后的長度還是奇數嗎？我們舉個例子，S=“abcba”，變化為T=“#a#b#c#b#a#”，T的長度為11，所以我們發現其改造的目的是將字符串的長度變為奇數，這樣就可以統一的處理奇偶的情況了。
二）第二步，為了改進回文相互重疊的情況，我們將改造完后的T[ i ] 處的回文半徑存儲到數組P[ ]中，P[ i ]為新字符串T的T[ i ]處的回文半徑，表示以字符T[i]為中心的最長回文字串的最端右字符到T[i]的長度，如以T[ i ]為中心的最長回文子串的為T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。這樣最后遍歷數組P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示該回文串就是T[ i ]本身。舉一個簡單的例子感受一下：
數組P有一性質，P[ i ]-1就是該回文子串在原字符串S中的長度 ，那就是P[i]-1就是該回文子串在原字符串S中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字符串T中，所有的回文字串的長度都為奇數，那么對於以T[i]為中心的最長回文字串，其長度就為2*P[i]-1,經過觀察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的數量一定比其他字符的數量多1，也就是有P[i]個分隔符，剩下P[i]-1個字符來自原字符串，所以該回文串在原字符串中的長度就為P[i]-1。【這段解釋引用 dyx心心】
另外，由於第一個和最后一個字符都是#號，且也需要搜索回文，為了防止越界，我們還需要在首尾再加上非#號字符，實際操作時我們只需給開頭加上個非#號字符，結尾不用加的原因是字符串的結尾標識為'\0'，等於默認加過了。這樣原問題就轉化成如何求數組P[ ]的問題了。
三）如何求數組P [ ]
從左往右計算數組P[ ]， Mi為之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到達的最右端的值。
1）當 i <=R時，如何計算 P[ i ]的值了？毫無疑問的是數組P中點 i 之前點對應的值都已經計算出來了。利用回文串的特性，我們找到點 i 關於 Mi 的對稱點 j ，其值為 j= 2*Mi-i 。因，點 j 、i 在以Mi 為中心的最大回文串的范圍內（[L ,R]），
a）那么如果P[j] <R-i （同樣是L和j 之間的距離），說明，以點 j 為中心的回文串沒有超出范圍[L ,R]，由回文串的特性可知，從左右兩端向Mi遍歷，兩端對應的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（這里得先從點j轉到點i 的情況），如下圖：
b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 為中心的回文串的最左端超過 L），如下圖所示。即，以點 j為中心的最大回文串的范圍已經超出了范圍[L ,R] ，這種情況，等式P[ j ]=P[ i ]還成立嗎？顯然不總是成立的！因，以點 j 為中心的回文串的最左端超過L，那么在[ L, j ]之間的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等於R- i，至於是否大於R-i（圖中紅色的部分），我們還要從R+1開始一一的匹配，直達失配為止，從而更新R和對應的Mi以及P[ i ]。
2）當 i > R時，如下圖。這種情況，沒法利用到回文串的特性，只能老老實實的一步步去匹配。
相應的代碼如下：
1 string Manacher(string s) 2 { 3 /*改造字符串*/ 4 string res="$#"; 5 for(int i=0;i<s.size();++i) 6 { 7 res+=s[i]; 8 res+="#"; 9 } 10 11 /*數組*/ 12 vector<int> P(res.size(),0); 13 int mi=0,right=0; //mi為最大回文串對應的中心點，right為該回文串能達到的最右端的值 14 int maxLen=0,maxPoint=0; //maxLen為最大回文串的長度，maxPoint為記錄中心點 15 16 for(int i=1;i<res.size();++i) 17 { 18 P[i]=right>i ?min(P[2*mi-i],right-i):1; //關鍵句，文中對這句以詳細講解 19 20 while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]]) 21 ++P[i]; 22 23 if(right<i+P[i]) //超過之前的最右端，則改變中心點和對應的最右端 24 { 25 right=i+P[i]; 26 mi=i; 27 } 28 29 if(maxLen<P[i]) //更新最大回文串的長度，並記下此時的點 30 { 31 maxLen=P[i]; 32 maxPoint=i; 33 } 34 } 35 return s.substr((maxPoint-maxLen)/2,maxLen-1); 36 }
若還是有不懂的，可以參考，這篇文章參考的大神們寫的博客。本人小白啊，若有錯誤，歡迎大神留言指出！