圖論 Dijkstra+堆優化

dijkstra是一種單元最短路徑算法，其能在較好時間復雜度內處理這一問題。但其對負權圈的處理讓人不太滿意——會陷入死循環

其思想和Prim算法差不多，都是貪心。

把圖中的所有點划分為兩個集合：包含遠點S和不包含原點S的

每次從不包含原點S的集合中找出一個離原點S最近的點（這樣就沒有點能夠比這個點更加接近原點，這也是其不能處理負權邊的原因）

我們先考慮簡單一點的情況：沒有負權邊

設u是不包含s中dist最小的那個點，另外v是不包含S中的任意點

如果v能更新u點<==>dist[v]+map[v][u]<dist[u];因為map[v][u]>0所以有dist[v]<dist[u]假設不成立

所以我們就有一個算法啦

1.每次找出不包含S中最近點，加入包含s的集合

2.維護所有和這個店相連的不在包含s的集合里的點到原點的距離（Prim維護的是到包含S的集合的距離）

時間復雜度Θ（n^2）比較優，適合稠密圖。

但我們發現每次找一個最近點有點耗時，因為要支持減值和求最小的操作，就用優先隊列啦

（優先隊列在小根堆情況下支持降值，大根堆下支持升值）但優先隊列里的元素有O（E）個開空間時需注意~~

上代碼~

轉自HK大神的blog，對於重載（）不是很懂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,S,tot,Next[500010],head[20000],tree[500010],val[500010];
bool visit[20000];
long long dis[20000];
struct cmp
{
    bool operator()(int a,int b)
    {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> Q;
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    tree[tot]=y;
    val[tot]=z;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);
    tot=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if (x==y) continue;
        add(x,y,z);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        visit[i]=false;
        dis[i]=2147483647;
    }
    Q.push(S);
    dis[S]=0;
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        if (visit[u]) continue;
        visit[u]=true;
        for (int i=head[u];i;i=Next[i])
        {
            int v=tree[i];
            if (!visit[v]&&dis[v]>dis[u]+(long long)val[i])
            {   
                dis[v]=dis[u]+val[i];
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n-1;i++) printf("%lld ",dis[i]);
    printf("%lld\n",dis[n]);
    return 0;
}

 下面自己寫的，渣~（我會告訴你我懶）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 2000005
using namespace std; 
int n,m,s,next[N],to[N],head[N],vis[N],cos[N],dis[N],num=0,u,v,c;
struct note{
    int to,cos;
};
struct cmp
{
     bool operator()(int a,int b)
     {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> Q;
void push_way(int u,int v,int c)
{
    to[++num]=v;
    cos[num]=c;
    next[num]=head[u];
    head[u]=num;
}
void dijkstra(int s)
{
    Q.push(s);
    //vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        cout<<u<<endl;
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=next[i])
        {
            int v=to[i];
            if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+cos[i])
            {
                dis[v]=dis[u]+cos[i];
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=10000;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
        push_way(u,v,c);
    }
    dijkstra(s); 
    
}