枚舉1--求小於n的最大素數
總結：
素數是不能被比它小的素數整除。
1 /* 2 枚舉就是基於已有知識鏡像答案猜測的一種問題求解策略 3 4 問題：求小於n的最大素數 5 6 分析： 7 找不到一個數學公式，使得根據N就可以計算出這個素數 8 9 我們思考： 10 N-1是素數么？N-2是素數嗎？... 11 12 所以我們就是判斷N-K是否為素數： 13 N-K是素數的充分必要條件：N-K不能被[2,n-k)中任何一個整除 14 15 判斷N-K是否為素數的問題可以轉化為： 16 求小於N-K的全部素數（求“小於N的最大素數”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個素數整除”，而不是整數） 17 不能被[2,n)中任意一個素數整除的數一定是素數，因為那些整數都是以素數為因子的， 18 所以沒必要檢測所有整數，檢測所有素數就ok了 19 20 解決方法： 21 2是素數，記為PRIM 0 22 根據PRIM 0，PRIM 1，...PRIM K，尋找比PRIM K大的最小素數PRIM K+1（這里是根據素數找素數） 23 如果PRIM K+1大於N，則PRIM K是我們需要找的素數，否則繼續尋找 24 25 枚舉： 26 從可能的集合中一一列舉各元素 27 根據所知道的知識，給一個猜測的答案 28 比如：2是素數，那2是本問題的解么 29 30 枚舉算法： 31 對問題可能解集合的每一項： 32 根據問題給定的檢驗條件判斷哪些是成立的 33 使條件成立的即為問題的解 34 35 枚舉過程： 36 判斷猜測答案是否正確 37 2是小於N的最大素數么？ 38 進行新的猜測： 39 有兩個關鍵因素要注意： 40 1. 猜測的結果必須是前面的猜測中沒有出現過的。每次猜測的素數一定要比已經找到的素數大 41 2. 猜測的過程中要及早排除錯誤的答案。比如：除2之外，只有奇數才可能是素數 42 43 枚舉過程中需要考慮的問題： 44 1. 給出解空間，建立簡介的數學模型 45 可能的情況是什么？ 46 模型中變量數盡可能的少（使規模盡量小），他們之間相互獨立 47 求“小於N的最大素數”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個素數整除” 48 而不是“n不能被[2,n)中任意一個整數整除” 49 2. 減少搜索的空間 50 利用知識縮小模型中各變量的取值范圍，避免不必要的計算 51 比如：較少代碼中循環體執行的次數 52 除2之外，只有奇數才可能是素數，{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n} 53 3. 采用合適的搜索順序 54 搜索空間的遍歷順序要與模型中條件表達式一致 55 例如：對{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}，按照從小到大的順序 56 57 58 枚舉關鍵字（枚舉核心）： 59 減少規模 60 61 */ 62 63 #include <iostream> 64 using namespace std; 65 int prim[50000];//用來存所有素數 66 int primNum=0;//用來記錄 prim數組中已經存入的素數的數量 67 int times=0; //用於記錄求解問題的總共判斷次數 68 int primLessN(int n); 69 int primLessN_2(int n); 70 bool isPrimMothed(int n); //判斷一個數是否為素數 71 72 /* 73 方法一：由前往后用素數判斷的枚舉法： 74 求“小於N的最大素數”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個素數整除”，而不是整數 75 76 當n=10 0000時， 77 ans=99991 78 times=4626 4478次 79 primNum=9592 80 81 我每一個素數被判斷出來，都要遍歷一下之前的素數表 82 而判斷10 0000的時候，外層循環走了50000，里層每一個素數就是一次之前素數表的遍歷 83 50000*（1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082 84 前面那個數沒有50000，還要減去那些非素數 85 從 50000* 4600 8082可以看出，主要是之前那些素數花的時間，非素數幾乎沒花時間 86 非素數= 4626 4478-4600 8082= 25 6450 87 只有25萬，雖然還是要比下面多很多，因為是從前往后比較的 88 */ 89 int primLessN(int n) 90 { 91 prim[0]=2; //2是最小的素數 92 primNum++; 93 for(int i=3;i<n;i+=2){ 94 bool isPrim=1; //isPrim用來判斷一個數是否為素數 95 for(int j=0;j<primNum;j++){ 96 times++; 97 if(i%prim[j]==0){ 98 isPrim=0; 99 break; //沒加break之前， 當n=10 0000時，times=2 5239 6936次 （2.5億） ，加了之后times=4626 4478次 （4.5千萬次） 100 } 101 102 } 103 if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素數，則存入prim素數數組 104 } 105 return prim[primNum-1]; 106 } 107 108 /* 109 方法二： 由后往前的整數枚舉法 110 而且方法二的空間消耗也少 111 112 當n=10 0000時， 113 ans=99991 114 times=346次 115 116 當n=100 0000時，用方法一的話，根本算不出來 117 ans=99 9983 118 times=1811次 119 120 當n=1 0000 0000(一億)時， 121 ans=9999 9989 122 times=11314次 123 124 當n=10 0000 0000(十億)時， 125 ans=9 9999 9937 126 times=52537次 127 */ 128 bool isPrimMothed(int n){ 129 bool isPrim=1; //isPrim用來判斷一個數是否為素數 130 if(n==2||n==3) return 1; 131 for(int i=2;i*i<=n;i++){ 132 times++; 133 if(n%i==0) return 0; 134 } 135 return 1; 136 } 137 138 int primLessN_2(int n){ 139 for(int i=n;i>=2;i--){ 140 if(isPrimMothed(i)) return i; 141 } 142 } 143 int main(){ 144 int n; 145 scanf("%d",&n); 146 //int ans=primLessN(n); 147 int ans=primLessN_2(n); 148 cout<<ans<<endl; 149 printf("總判斷次數times:%d\n",times); 150 printf("總素數數primNum:%d\n",primNum); 151 return 0; 152 }
代碼運行結果在注釋里有。