LFYZ-OJ ID: 1019 位數問題

位數問題

問題描述

在所有的N位數中，有多少個數中有偶數個數字3？由於結果可能很大，你只需要輸出這個答案對12345取余的值。

INPUT

輸入一個數N(1<=N<=1000)，輸入以0結束。

OUTPUT

對於每一個N輸出有多少個數中有偶數個數字3。

Sample Input

2
0

Sample Output

73

分析

已知N的最大值為1000，1000位的數字的個數約有10¹⁰⁰⁰個，這是個天文數字，故不可能使用枚舉法一一統計。本題需使用遞推的思想：

設E(n)為n位數中有偶數個3的數字個數，O(n)為n位數中有奇數個3的數字個數。從n位數轉變為n+1位數可以在n位數的基礎上增加一位：

偶數的英文為“Even”， 奇數的英文為“Odd”，在這里“O(n)”可能會和時間復雜度的概念混淆，小心避免理解出錯。

• 如果n位數中有偶數個3，新增一個數位為3，則n+1位數中有奇數個3
• 如果n位數中有偶數個3，新增一個數位為非3，則n+1位數中有偶數個3
• 如果n位數中有奇數個3，新增一個數位為3，則n+1位數中有偶數個3
• 如果n位數中有奇數個3，新增一個數位為非3，則n+1位數中有奇數個3

遞推關系用公式表達如下：

• E(n+1)=E(n)*9+O(n) => E(n)=E(n-1)*9+O(n-1)
• O(n+1)=E(n)+O(n)*9 => O(n)=E(n-1)+O(n-1)*9

1位數有10個：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 數字3中有奇數個（1個）數字3，其它9個數字中有偶數個（0個）數字3，因此E(1)=9, O(1)=1，這就是遞推的已知條件，也是我們遞推的起點。但在遞推的時候，數字的第一位是不能為0的，所以遞推到第一位（我們從低位往高位推）時，不是乘9，而是乘8。

當N很大時，數字必定會超過int能夠表達的范圍從而導致溢出，所以在遞歸過程中要不斷的按照題目要求和12345求余以將數字控制在一定范圍內。

通過遞推計算，時間復雜度為O(N)。

代碼示例

#include<iostream>
using namespace std;
int EVEN[1001], ODD[1001];		//Even存儲偶數項，ODD存儲奇數項
int main(){
	int N, x=9;
	scanf("%d", &N);
	EVEN[1]=9;                  //遞推起點
	ODD[1] =1;                  //遞推起點
	for(int i=2; i<=N; i++){
		if(i==N) x=8;           //遞推到最高項時
		EVEN[i]=(EVEN[i-1]*x+ODD[i-1])%12345;
		ODD[i] =(EVEN[i-1]+ODD[i-1]*9)%12345;
	}
	printf("%d", EVEN[N]);
}