Alex Fung魔方解法學習記

本文轉載自查看原文 2017-05-18 12:31 2134 Mathematics and its applications

我學了Alex Fung魔方解法（見Solving the Rubik's Cube Systematically），這是一種精確的數學法，且是一種思路，一個系統解決方案，一種原理，不用死記硬背公式。

這是一篇學習記，所有用到的算法動畫演示見原文Java Applet。整個過程我錄了視頻演示（詳見附錄一）。

魔方基礎的術語（如圖示，見 Background and Naming of the Parts）：前Front后Back左Left右Right上Up下Down面，順（Clockwise，即我看着魔方的這一面順時針轉）逆（逆時針），本解法還用到中間層C，即左中右之中（C的方向隨R）；還用到腰層M，上下之間的夾層（M的方向隨U）。固定三面朝我，三面看不見的式樣，左手轉前面Front（F面，我Fancy的左手），右手轉右面Right（R面，我Right的右手）。

Fung解法像個全集，本文的過程是一個子集：先底面再頂四角，頂三棱后棱對齊，中間層的棱和中間層的心。

Fung解法的整體思路是：先角后棱再中心，先轉位置再轉面。具體來說，（1）先底4角，再頂4角；（2）然后底三棱，頂三棱，最后頂和底兩棱，得到兩面正確；（3）中間層的棱；（4）最后中心。每一步驟都是先把那一塊轉到那個位置去（動作是move），先不管方向（orientation），然后再轉方向：角擰轉（twist），楞翻轉（flip）。

1）先底面

以黃底面為例，四條黃棱先轉到對面（我的魔方是紫色），再任意旋轉，使得棱的側面正確，例如黃藍塊，旋轉至藍色面，再轉回黃底。四角最后一招均使用CM1轉法（見 Moving Corners），這CM1操作是角操作的基礎。不能因為我太會轉齊一面了，就不用CM1，Fung解法是一個精確的數學樂高，CM1是基礎塊。

X•Y•X^-1 是一個conjugate（參考Design Theory），X，Y為魔方的轉動操作，可以是單個操作或復合操作，但數學集合術語完全適用，例如X為F（左手順時針轉90度），X^-1表示F^-1（左手逆時針轉90度）；•表示動作相連，可省略，寫在這里僅僅為了當動作為復合操作時，看起來清晰。

conjugate的特點是逆為中間的動作的逆：(X•Y•X^-1)^-1=X•Y^-1•X^-1。

X•Y•X^-1•Y^-1是一個commutator，記為[X, Y]，其特點是逆為兩個轉動操作相同但先后次序反之：(X•Y•X^-1•Y^-1)^-1= (Y•X•Y^-1•X^-1) = [Y, X]。

CM1包括左手和右手的操作，有CM1R，CM1R^-1，CM1F，CM1F^-1。
CM1R = R^-1•D^-1•R 　　　　　　　目標角在FRD，面朝右，右手操作。直覺：右手合，如圖示。
CM1F = F•D•F^-1與CM1R左右鏡像，左手合

CM1R^-1 = (CM1R)^-1=R^-1•D•R 　目標角在FRU，面朝左，右手操作，將其轉到FRD，面朝左。直覺：右手開。
CM1F^-1 = F•D^-1•F^-1與CM1R^-1左右鏡像，左手開

轉完是常見的底面白色，側面T字。

2）再頂四角

先 轉位置再轉面。轉位置用CM3R，轉面用CT2（CM3R和CT2見 Moving Corners）。

CM3R = [CM1R, U] = CM1R•U•CM1R^-1•U^-1 三角順時針輪換，僅改變三個角的位置，直覺：三角輪換。

轉位置，有兩種情況：

（i）一邊兩角對換。頂面用R逆，先將一角轉正，剩下三角再對換，另兩角的正確沒意義，換句話說，三角輪換中包含有兩角相對位置正確。有時候，我一看就是一個天然的三角對換，其實我得承認，那是湊巧，我不用親自做“R逆”這一步了。

（ii）頂角對換，先用一次CM3R，將情況變成（i），再用一次CM3R。

關於轉面，例如轉黃面，有三種情況：

（i）兩角的黃色面一個朝前，一個朝后，那就按示例做CT2，先右手再左手。

（ii）如果兩角的黃色面同邊都朝右，也是CT2，但鏡像，先左手再右手。

（iii）如果對角黃色面朝上，另兩角不對，也是一個CT2，但是要轉180度。

重點是當操作成對時，后一個操作可以將前一個操作對其他塊的傷害復原。

有時，一個角朝向正確，剩下三個角朝向不對，拆作兩組CT2，但中間的那一塊在第一個CT2中要假裝它的朝向是配對的。

CT1 = CM1R ^-1•CM1F 　　　　　　　　　目標角在FRU，面朝左，先右手CM1R ^-1將其轉到FRD，面朝左，再左手CM1F，轉到FRU，面朝上。直覺：右手開左手合。

CT1^-1=CM1F^-1•CM1R 　　　　　　　　　與CT1左右鏡像

CT2 = [CT1, U] = CT1•U•CT1 ^-1•U ^-1 目標角位置正確，面朝向不對。成對的鏡像操作。僅改變兩個角的面朝向。直覺： 兩角翻面。

CM3R和CT2是成功的秘訣，因為其他塊都不動。如果把魔方轉齊了，在一面嘗試CM3R和CT2，轉完了，發現除了目標塊（CM3R三塊、CT2兩塊）有變動，其他塊毫發無傷。

3）頂三棱后棱對齊

這一步轉對位置的同時，方向也是對的。

EM1BR和EM1BL是將側邊棱轉到頂的兩個基礎操作（見 Moving Edges Part I）。

當頂的一條棱調整時，直下的底的棱也變了（EM1BR變成頂棱，EM1BL是背后看不見的那條棱），於是變成底三棱。每轉一條棱，確保下面的棱是那個不對的棱，是個buffer，是我們不關注的buffer。

EM1BR = [F, M] = F•M•F^-1•M^-1直覺：前腰回回

EM1BR^-1= [M, F] = M•F•M^-1•F^-1直覺：腰前回回
EM1BL = [F^-1, M²] = F^-1•M²•F•M²直覺：后腰腰回回

EM1BL^-1 = [M², F^-1] =M²• F^-1•M²•F　　　直覺：腰腰后回回

最后一步“上下兩條棱同時擰正”（見 Moving Edges Part II），這一步是所有步驟中的最難的，是個關卡。（我一開始偷偷用過左手鏡像操作。）

寫我的方法：目標底棱在頂面（底面朝左），目標頂棱在側面，用EM1BR。

F面的豎着的兩條棱在操作中不變，可在一開始找到符合EM1BR的那個棱，暫存於此處。若最后不幸下棱正確、上棱位置對朝向不對，三步糾正：1）將上棱用EM1BL擰下來，存於FR棱，2）再將下棱EM1BL擰到上棱，3）再用EM1BR。

若已經能轉齊六面，觀察EM1BR和EM1BL，觀察上下兩條棱在這兩個操作下去哪兒了，可有更多技巧。

這樣兩面整齊，將魔方像是三明治那樣立起來，我們來調整混亂的夾層。

4）中間層的棱和中間層的心

轉位置，有兩種情況：

（i）一棱位置正確，三棱輪換：三棱輪換EM3（見 Moving Edges Part II），當發現兩棱需對換的情況，先順轉90度（C），鉚定一個，剩下三棱輪換，原理同頂四角。

（ii）兩棱對角交換：兩次EM3。

EM3 = [U ², C ^-1] = U ²C ^-1U ²C

此時看一下，如果中心不對，可以先轉中心。我遇到的情況都是兩對中心直線對換，NM4（見 Completing the Cube）。有一次我看到所有塊都好了，只有中心不對，Wow，但是NM4這個轉法，四兩撥千斤，too good to be true。

NM4 = [C, M ²] = C•M ²•C ^-1•M ²

棱轉面用EF2B（見 Moving Edges Part I）：將兩個棱成對翻轉，用的是EM1BR和EM1BL兩個操作的正逆組合。

有兩種情況：

(i) 兩棱在同一面，顯然是直線相對的，不是像演示的，轉90度，而是轉180度。這種情況用一次EF2B。

(ii) 兩棱在對角線上，用兩次EF2B，第一次EF2B時，過渡的中間塊反而要擰反。

這個操作顯然是“王牌”了，如同穿過桃花島。我到了這最后一步重頭再來的情況不計其數，真是氣炸了。后來我口中念念有詞：一二三四五六七八(EF1B)，一二三四五六七八(EF1B ^-1)。剛才先轉中心也只是為了不添迷惑，第一個八拍走完，亂相是每一面兩塊或三塊。

EF1B = EM1BR^-1•EM1BL = [M, F]•[F^-1, M²] = (M•F•M^-1•F^-1)•(F^-1•M²•F•M²) 　　直覺：腰前回回前腰回回（一二三四五六七八）

EF1B^-1 = EM1BL^-1•EM1BR = [M², F^-1]•[F, M] = (M²•F^-1•M²•F)•(F•M•F^-1•M^-1) 　直覺：腰腰后回回后腰腰回回（一二三四五六七八，“腰腰”算一步）
EF2B = [EF1B, U²] = EF1B•U²•EF1B^-1•U² 第二個操作是：一個次序相反的EM1BL，接一個正常的EM1BR

Alex Fung說這個算法是他二十多年前寫成博客，文中說他十多年不轉魔方，一旦轉起來，照樣能轉好，不像記公式，一段時間不轉，就不會轉了。這句話直接說中我的痛處。經過了這些月，我深感這個方法的迷人實用。關於 Fung解法有反饋的話，請寫郵件給他。

后來，我轉異形魔方，意識到Fung解法需要與經典解法結合（詳見附錄二）。

附錄一：Alex Fung魔方解法視頻

1）三階魔方視頻
Alex Fung魔方解法整體介紹、第一層十字架：0～2:10秒
第一層的角、基礎動作左手合、左手開、右手合、右手開：2:10～7:10秒
頂層三角輪換：7:10～11:50秒
頂層兩角換面：11:50～16:17秒
頂層四棱、前腰回回、后腰腰回回：16:17～22:26秒
中間層三棱輪換：另一個視頻
中間層中心對換：22:26～24:35秒
中間層兩棱換面：24:35～末尾

2）兩階魔方視頻

附錄二：Fung解法與經典解法的結合

Fung解法適用於其他異形魔方，例如二階、四階、鏡面等，但在五魔方中，中間層不能轉，若用上下層相對旋轉的方法，我還沒能嘗試。

經典的“先第一層、后第二層、再第三層”魔方解法中，關於第二層棱如何擰對，“魔方小站站長”使用“遠切回回、接孩子回家”算法，但新浪博主“震我一下魔方宅”將其拆解為兩個“上鈎下回”動作。

左手上鈎下回=（魔方上下顛倒后）右手合+底回　　即，（經典）F^-1•U^-1•F•U=（Fung解法魔方上下顛倒后）R^-1•D^-1•R•D=[R^-1, D^-1]

右手上鈎下回=（魔方上下顛倒后）左手合+底回　　即，（經典）R•U•R^-1•U^-1=（Fung解法魔方上下顛倒后） F•D•F^-1F•D^-1=[F, D]

故，第二層棱擰對的解法“遠切回回、接孩子回家”=（Fung解法中魔方上下顛倒后）遠+右手合+底回+左手合+底回。或，鏡面動作。

三階魔方“震我一下魔方宅”君調整頂層棱十字架以及位置也使用上鈎下回的動作組合。但五魔方的頂層調整棱的位置依然用到魔方小站站長教的“小魚一”和“小魚二”。

再有，三階粽子魔方很難。難點在於：

（1）亂且歪，其三階魔方的架構要齊平視野，看出橫平豎直的井字格。井字格的對准很費眼力，固有手勢的手感難以使出來，過程中扭曲尖銳丑陋的外觀讓人很不自信。

（2）雙色中心塊對應三階魔方的中心，其位置有方位性，比三階魔方嚴格，每走一步要加格外步驟校准。對齊第一層門檻很高。第一層先棱后角，需要逐塊謹慎處理。

（3）頂層十字架難以識別面向。