BWT算法，實質上是前綴樹的一種實現。那么什么是前綴樹呢？
一、前綴樹
對於問題p in S？如果S=rpq，那么p為S前綴rp的一個后綴。
於是，為了判斷p in S 是否成立，我們找到S的所有前綴，然后逐一判斷p是不是它們的后綴。為了加快效率，我們將所有的前綴建成一顆樹，這棵樹便是前綴樹。下面，我們舉例說明前綴樹的建立過程和如何使用前綴樹進行模式匹配。
前綴樹的建立
假設S='acaacg',p='aac',那么我們首先找到S的所有前綴，如下
- a
- ac
- aca
- acaa
- acaac
- acaacg
於是，我們將這些前綴翻轉過來，然后建立為一顆字典樹，如下圖
模式匹配
\(p='aac'\)，令\(p'=caa\)（即p的翻轉）。顯然，現在只需進行一次樹的搜索，即可完成匹配。
如果在判斷p in S 的同時，還需要得到p 在S 中的位置，那么只需在建樹的時候，將每個字符的索引加上，例如
當然，也可以不保存索引，每次模式匹配結束時，沿着當前節點走下去，一直到為S[0]。
在節點中添加數字，有其他用處，詳見我的另一篇博文廣義后綴樹的簡介。
評價
我們可以看到，相對於常規的匹配算法，前綴樹時間復雜度比較小，但占用空間較大。下面要說的BWT算法，就是解決這個問題的。
二、構建BWT(S)
仍然，以S='acaacg'為例。
1.令S1=S+'$'='acaacg$'；
2.循環左移S1 6次，得到S2,S3,S4,S5,S6,S7；
3.對S1到S7按字典序排序（\(\$\)字符的字典序最小），取每個串的最后一個字符，連成一個序列\('gc\$aaac'\)。於是為\(BWT(S)='gc\$aaac'\)。
也許，到這里，你還不清楚BWT變換和前綴樹，有什么關系。那就接着往下看吧。
三、使用BWT,進行模式匹配
我們已經知道BWT(S)=\('gc\$aaac'\)，對BWT(S)中的字符進行排序得到\(S'='\$aaaccg'\)，得到下圖形式的矩陣。
這個矩陣看起來，有些規律，但是又很奇怪。下面通過復原S的過程，我們來理解以下這個矩陣。
復原S
這個過程用語言描述比較麻煩，直接看圖
按照圖中(1)到(7)步，我們即可得到'$gcaaca'，於是S='acaacg'。
其中，斜線表示是，我們找到最后一列的某個符號，然后跳至這個符號在第一列的位置。比如，在第(3)步中，最后一列為第2個c，我們跳到第一行中第2個c的位置。
模式匹配
p='aac'，令\(p'='caa'\)，選取c作為起點，由於S中有兩個c，因此有兩種可能 的匹配。
- 從第一個c出發
- 從第二個c出發
因此，在方案2得到p',因此p in S是正確的。
幾個問題
1.問題一：如何得到某個符號，在本列中是第幾個？
顯然，我們可以使用一個數組來保存。例如，對於'$gcaaca'，數組a=[1,1,1,1,2,2,3]。
$ g c a a c a
[1,1,1,1,2,2,3]
但是，還有一種省空間的辦法。我們只保存串'$gcaaca'中某些字符的位置，這些字符我們稱為checkpoint。
2.問題二：如何得到模式p在S中的位置？
匹配模式串之后，繼續運行，直至$，但是這樣比較耗時。
另一種辦法，在BWT串中記錄相應的偏移。這種辦法空間開銷比較大，也可以采取類似於checkpoint的方法，記錄部分的偏移。
四、待研究的問題
- 如何快速得到一個串的BWT編碼?
- 如何允許部分匹配？
題外話
DNA比對還有一類快速的辦法——使用哈希。