1768:最大子矩陣（NOIP2014初賽最后一題）

1768:最大子矩陣

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描述

已知矩陣的大小定義為矩陣中所有元素的和。給定一個矩陣，你的任務是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩陣。

比如，如下4 * 4的矩陣

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩陣是

9 2
-4 1
-1 8

這個子矩陣的大小是15。

輸入

輸入是一個N * N的矩陣。輸入的第一行給出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先從左到右給出第一行的N個整數，再從左到右給出第二行的N個整數……）給出矩陣中的N ²個整數，整數之間由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩陣中整數的范圍都在[-127, 127]。

輸出

輸出最大子矩陣的大小。

樣例輸入

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

樣例輸出

15

來源

翻譯自 Greater New York 2001 的試題

分析：

先對每一行計算前綴和數組，用於方便地計算每一行指定段的元素之和。

然后枚舉子矩陣的起始列first、結束列last。然后在這個區域計算列數為last-first+1的所有子矩陣的最大和。（計算過程類似一維矩陣的最大子段和。）

#include <stdio.h>
const int SIZE = 100;
int matrix[SIZE + 1][SIZE + 1];
int rowsum[SIZE + 1][SIZE + 1]; //rowsum[i][j]記錄第 i 行前 j 個數的和
int m, n, i, j, first, last, area, ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    m=n;
    for (i = 1; i <= m; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &matrix[i][j]);
    ans = matrix[1][1];
    for (i = 1; i <= m; i++)
        rowsum[i][0]=0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            rowsum[i][j] = rowsum[i][j-1]+matrix[i][j];
    for (first = 1; first <= n; first++)
        for (last = first; last <= n; last++) 
        {
            area=0;
            for (i = 1; i <= m; i++) 
            {
                area += rowsum[i][last] -rowsum[i][first-1];
                if (area > ans) ans = area;
                if (area < 0) area = 0;
            }
        }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}