基本概念
對極幾何（Epipolar Geometry）是Structure from Motion問題中，在兩個相機位置產生的兩幅圖像的之間存在的一種特殊幾何關系，是sfm問題中2D-2D求解兩幀間相機姿態的基本模型。
基本模型
其中c0、c1為兩個相機中心，p為空間中一點，p在c0、c1對應像平面上的投影分別為x0、x1。c0、c1連線與像平面的交點e0、e1稱為極點（Epipoles），l0、l1稱為極線（Epipolar Lines），c0、c1、p三點組成的平面稱為極平面（Epipolar Plane）。
對極約束（Epipolar Constraint）
對極幾何中最重要的一條公式是對極約束（Epipolar Constraint），下面讓我們來推導出這個約束條件。
根據針孔相機模型，相機成像平面一點的像素坐標p和該點在世界坐標系下的3D坐標P有$p=KP$的關系，如果用齊次坐標表示則有：
$$dp=KP$$
其中d是空間點深度（為了將p的齊次項變為1），K是相機內參數矩陣，p和P都是齊次坐標。
於是如果以第一個相機的坐標系為參照，對於兩個相機則有：$$d_0p_0=KP，d_1p_1=K(RP+t)$$
其中R為旋轉矩陣（Rotation），t為平移向量（Translation）。令$x = K^{-1}p$，去掉內參K歸一化成：
$$d_0x_0=P， d_1x_1=RP+t$$
由這兩式得：$$d_1x_1 = R(d_0x_0)+t$$
兩邊同時叉乘t消去加號后面單獨的t項：$$t \times d_1x_1 = t \times Rd_0x_0+t \times t$$
進而：
$$t \times d_1x_1 = t \times Rd_0x_0$$
再在兩遍同時左乘一個x1：
$$x_1^T (t \times d_1x_1) =x_1^T t \times Rd_0x_0$$
由於等號左邊x1乘上了一個和自身垂直的向量，所以等於0，故：
$$x_1^T t \times Rx_0=0$$
該等式稱為對極約束（Epipolar Constraint）。
對極約束的幾何意義：x1、t、Rx0三者混合積為0，表示這三個向量共面，即上圖中三角形的三邊共面。
令$E =t \times R$，得到對極約束的新形式：
$$x_1^TEx_0=0$$
E稱為本質矩陣（Esential Matrix），由外參數R和t決定。
本質矩陣的幾何意義：$x_1^Tl_1=0$，即x1在直線 $l_1=Ex_0$上，表示E將x0投影到另一幀圖像中的直線l1上。
使用方法
有了對極幾何的模型，2D-2D的相機姿態可以通過如下過程求解：
①通過多組對應點（Correspondence）進行幀間匹配，求出本質矩陣E。
②通過對E進行分解求出外參數R和t，即相機姿態。
具體過程參見另一篇博文——相機姿態估計（Pose Estimation） 中2D-2D情形。