經典面試題：n個數字（0,1,…,n-1）形成一個圓圈

題目：

n個數字（0,1,…,n-1）形成一個圓圈，從數字0開始， 
每次從這個圓圈中刪除第m個數字（第一個為當前數字本身，第二個為當前數字的下一個數字）。 
當一個數字刪除后，從被刪除數字的下一個繼續刪除第m個數字。 
求出在這個圓圈中剩下的最后一個數字。 

 

我的思路：

這是個很經典的環形問題，最優的方案時間復雜度是O(n)：先構建遞推公式，再使用循環或者遞歸都能輕松求解，

網上的教程很少能把這個遞推公式的由來描述清楚，所以我在這里加入我的一些理解。

由於我們要求解的是n個元素，第m個數字，要找到最后的一個數字，那么我在這里假設得到的結果是f(n,m),

假設我們已有數列為：

0    1    ...  m-2    m-1  m  ...     n-1

刪除一次后得到的新數列是（注意題目條件->從被刪除數字的下一個繼續刪除）：

m    m+1   ...   n-1     0    1    ...    m-2   ①

很顯然，通過一次刪除后，問題規模從n變成了n-1,而f(n-1,m)所要求解的數列是：

0    1    ...  m-2    m-1  m  ...     n-2 ②

很顯然，把數列②向左移動m就變成了①的解（注意①和②不完全相同，但是我們想要求的是第一個值，因為第一個值是刪除后剩下的數字），

考慮到“左加右減”的數學原理和環形的特征，得到遞推公式：

               0                          if n==1  

f(n,m)={                                            

               (f(n-1,m)+m)%n    if  n>1

那么也就不難得到如下代碼：

int LastNumberOfCircle(int n, int m)
{
    int last = 0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        last = (last+m)%i;
    }
    return last;
}