[SinGuLaRiTy] 米勒羅賓素數判定法

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背景

數論學家利用費馬小定理研究出了多種素數測試辦法，Miller-Rabbin 素數測試算法是其中較快的一種。

步驟

（1）計算奇數M，使得N=2^r * M + 1；

（2）選擇隨機數A<N；

（3）對於任意i<r,若A^(2^i*M) mod N = N - 1，則N通過隨機數A的測試；

（4）或者，若A^M mod N = 1，則N通過隨機數A的測試；

（5）讓A取不同的值對N進行行多次測試（一般要求5~10次，有較高要求的話可以進行20~30次），若全部通過則判定N為素數；

概率

若N通過一次測試，則N不是素數的概率為25%；

若N通過 t 次測試，則N不是素數的概率為1/( 4 ^ t )；

事實上，當 t = 5 時，N不是素數的概率已為1/128，已經大於99.99%。

在實際運用中，可首先用300~500個小素數對N進行測試，以提高測試通過的概率與算法的速度。在隨機生成的素數中，選取的隨機數最好讓 r = 0，則可以省去步驟（3）的操作，進一步減少判定時間。

代碼

#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int count=10;
int modular_exp(int a,int m,int n)
{
    if(m==0)
        return 1;
    if(m==1)
        return (a%n);
    long long w=modular_exp(a,m/2,n);
    w=w*w%n;
    if(m&1)
        w=w*a%n;
    return w;
} 
bool Miller_Rabin(int n)
{
    if(n==2)
        return true;
    for(int i=0;i<count;i++)
    {
        int a=rand()%(n-2)+2;
        if(modular_exp(a,n,n)!=a)
            return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(Miller_Rabin(n))
        printf("Probably a prime.");
    else
        printf("A composite.");
    printf("\n");
    return 0;
}

 

Time：2017-02-07