米勒羅賓素數檢測（Miller-Rabin）

適用范圍：較大數的較快素性判斷

思路：

因為有好的文章講解具體原理（見參考文章），這里只是把代碼的大致思路點一下，讀完了文章如果還有些迷糊，可以參考以下解釋

原理是費馬小定理：如果p是素數，則a^(p-1)%p==1，加上二次探測定理：如果p是一個素數，則x^2%p==1的解為，則x=1或者x=n-1。

因為有通過費馬小定理的偽素數的概率不是充分小，在此基礎上加以改進判斷。

一次檢測中：

主要是把一個數n的n-1分解成d*2^r的形式，其中d為奇數，正向過程是a^n%p如果是1，就繼續分解a^(n/2)%p，（a為一個與n互素的數）看是否為1,；如果是n-1就停止分解，說明至此無法判斷是否為素數；如果不等於這兩個值，則一定為合數。而在寫代碼過程是這個過程的逆向過程，先分解到底，看最后這個a^d%p是否為1或n-1，如果是說明已經分解到底了，也就是通過了此次素性測試。如果不是，說明在正向過程中出現了要么a的某次方為n-1，根據算法停止了檢測過程；要么就是中間的某一個結果不等於這兩個數，那么就是合數。就從最后往前面推，每一步看滿不滿足上述條件。直到判斷為合數或者終止檢測的那一步。

多次檢測過程：

不停更換a測試。

代碼：（代碼中可能需要用到快速冪和大數乘積取余，可以參考前一篇博客）

#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
long long an[] = {2,3,5,7,11,13,17,61};
long long Random(long long n)//生成0到n之間的整數
{
    return (double) rand()/RAND_MAX*n+0.5;//(doubel)rand()/RAND_MAX生成0-1之間的浮點數
}
long long q_mod(long long a,long long n,long long p)
{
    a = a%p;
    //首先降a的規模
    long long sum = 1;//記錄結果
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            sum = (sum*a)%p;//n為奇數時單獨拿出來乘
        }
        a = (a*a)%p;//合並a降n的規模
        n /= 2;
    }
    return sum;
}
long long q_mul(long long a,long long b,long long p)
{
    long long sum = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)//如果b的二進制末尾是零
        {
            (sum += a)%=p;//a要加上取余
        }
        (a <<= 1)%=p;//不斷把a乘2相當於提高位數
        b >>= 1;//把b右移
    }
    return sum;
}
bool witness(long long a,long long n)
{
    long long d = n-1;
    long long r = 0;
    while(d%2==0)
    {
        d/=2;
        r++;
    }//n-1分解成d*2^r，d為奇數
    long long x = q_mod(a,d,n);
    //cout << "d " << d << " r " << r << " x " << x << endl;
    if(x==1||x==n-1)//最終的余數是1或n-1則可能是素數
    {
        return true;
    }
    while(r--)
    {
        x = q_mul(x,x,n);
        if(x==n-1)//考慮開始在不斷地往下余的過程
        {
            return true;//中間如果有一個余數是n-1說明中斷了此過程，則可能是素數
        }
    }
    return false;//否則如果中間沒有中斷但最后是余數又不是n-1和1說明一定不是素數
}
bool miller_rabin(long long n)
{
    const int times = 50;//試驗次數
    if(n==2)
    {
        return true;
    }
    if(n<2||n%2==0)
    {
        return false;
    }
    for(int i = 0;i<times;i++)
    {
        long long a = Random(n-2)+1;//1到(n-1)
        //cout << a << endl;
        if(!witness(a,n))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    long long num;
    cin >> num;
    if(miller_rabin(num))
    {
        cout << "Yes" << endl;
    }
    else
    {
        cout << "No" << endl;
    }
}

 

參考文章：

Matrix67，數論部分第一節：素數與素性測試，http://www.matrix67.com/blog/archives/234（原理只推薦這一篇，這一篇是我目前見到的解釋的最清晰，也可能是最精彩的，沒有之一！雖然是07年的，好博客與時間沒有關系）

因為上篇代碼部分用的是Pascal，這里找到c++的代碼版本：

StanleyClinton，素數判定Miller_Rabin算法詳解，https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569

還有rand函數的使用：https://jingyan.baidu.com/article/e73e26c060bdbc24adb6a7b0.html