CTR預估中的貝葉斯平滑方法（二）參數估計和代碼實現

1. 前言

前面博客介紹了CTR預估中的貝葉斯平滑方法的原理http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6389222.html。

這篇博客主要是介紹如何對貝葉斯平滑的參數進行估計，以及具體的代碼實現。

首先，我們回顧一下前文中介紹的似然函數，也就是我們需要進行最大化的目標函數：

下面我們就基於這個目標函數介紹怎樣估計參數。

 

2. 參數估計的幾種方法

1. 矩估計

矩估計在這里有點亂入的意思：），因為它其實不是用來最大化似然函數的，而是直接進行參數的近似估計。

矩估計的方法要追溯到19世紀的Karl Pearson，是基於一種簡單的 “替換” 思想建立起來的一種估計方法。 其基本思想是用樣本矩估計總體矩. 由大數定理，如果未知參數和總體的某個(些)矩有關系，我們可以很自然地來構造未知參數的估計。具體計算步驟如下：

1）根據給出的概率密度函數，計算總體的原點矩（如果只有一個參數只要計算一階原點矩，如果有兩個參數要計算一階和二階）。由於有參數這里得到的都是帶有參數的式子。比如，有兩個參數時，需要先計算出：期望  ; 方差  。在Beta分布中，可以計算得到，E(x) = α / (α+β)，D(x) = αβ / (α+β)²(α+β+1)。

2）根據給出的樣本，按照計算樣本的原點矩。通常它的均值mean用  表示，方差var用  表示。（另外提一句，求時，通常用n-1為底。這樣是想讓結果跟接近總體的方差，又稱為無偏估計）

3）讓總體的原點矩與樣本的原點矩相等，解出參數。所得結果即為參數的矩估計值。這里有，mean = E(x) = α / (α+β)，var = D(x) = αβ / (α+β)²(α+β+1)。於是乎，我們可以求得α，β：

α = [mean*(1-mean)/var - 1] * mean

β = [mean*(1-mean)/var - 1] * (1-mean)

 

2. Fixed-point iteration

首先構造出似然函數，然后利用Fixed-point iteration來求得似然函數的最大值。

1）首先給出參數的一個初始值（通常可以使用矩估計得到的結果作為初始值）。

2）在初始值處，構造似然函數的一個緊的下界函數。這個下界函數可以求得其最大值處的閉式解，將此解作為新的估計用於下一次迭代中。

3）不斷重復上述（2）的步驟，直至收斂。此時便可到達似然函數的stationary point。如果似然函數是convex的，那么此時就是唯一的最優解。

其實Fixed-point iteration的思想與EM類似。

首先給出兩個不等式關系：

1）

2）

由此可以得到對數似然函數的一個下界：

 

想要得到此下界函數的最大值，可以分別對α，β求偏導，並令之等於零，此時便得到α和β各自的迭代公式：

 由此，每次迭代，參數都會達到此次下界函數的最大值處，同時也就使得對應的似然函數值也相應地不斷增大，直至收斂到似然函數的最大值處。

 

3. EM

通過將概率參數作為隱含變量，任何估計概率參數的算法都可以使用EM進一步變成估計個數參數的算法。

（1）E-step：計算出隱含變量p在已觀測數據（觀測到的每個類別發生的次數，以及每個類別的超參數值的上一輪迭代的取值）下的后驗分布，便可以得到完全數據的對數似然函數的期望值。

（2）M-step：對E-step中的期望值求最大值，便可得到相應的超參數的本輪迭代的更新值。

（3）不斷重復地運行E-step和M-step，直至收斂。

回來我們這里的問題上，在有了觀測到的每個類別發生的次數，以及每個類別的超參數值的上一輪迭代的取值后，隱含變量p的后驗分布為：

而此時的完全數據的對數似然函數的期望為：

其中，

於是乎，我們可以對完全數據的對數似然函數的期望求最大值，從而得到α，β的更新值，有很多方法，直接求偏導，梯度下降，牛頓法等。

但是呢，此時我們並不需要非常精確地求得它的最大值，而是僅僅用牛頓法迭代一次。相比於精確地求得最大值，這種方法在每次迭代時只有一半的計算量，但是迭代次數會超過兩倍。

牛頓法的迭代可見：

 

3. 代碼實現

#!/usr/bin/python
# coding=utf-8

import numpy
import random
import scipy.special as special
import math
from math import log


class HyperParam(object):
    def __init__(self, alpha, beta):
        self.alpha = alpha
        self.beta = beta

    def sample_from_beta(self, alpha, beta, num, imp_upperbound):
        sample = numpy.random.beta(alpha, beta, num)
        I = []
        C = []
        for click_ratio in sample:
            imp = random.random() * imp_upperbound
            #imp = imp_upperbound
            click = imp * click_ratio
            I.append(imp)
            C.append(click)
        return I, C

    def update_from_data_by_FPI(self, tries, success, iter_num, epsilon):
        '''estimate alpha, beta using fixed point iteration'''
        for i in range(iter_num):
            new_alpha, new_beta = self.__fixed_point_iteration(tries, success, self.alpha, self.beta)
            if abs(new_alpha-self.alpha)<epsilon and abs(new_beta-self.beta)<epsilon:
                break
            self.alpha = new_alpha
            self.beta = new_beta

    def __fixed_point_iteration(self, tries, success, alpha, beta):
        '''fixed point iteration'''
        sumfenzialpha = 0.0
        sumfenzibeta = 0.0
        sumfenmu = 0.0
        for i in range(len(tries)):
            sumfenzialpha += (special.digamma(success[i]+alpha) - special.digamma(alpha))
            sumfenzibeta += (special.digamma(tries[i]-success[i]+beta) - special.digamma(beta))
            sumfenmu += (special.digamma(tries[i]+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta))

        return alpha*(sumfenzialpha/sumfenmu), beta*(sumfenzibeta/sumfenmu)

    def update_from_data_by_moment(self, tries, success):
        '''estimate alpha, beta using moment estimation'''
        mean, var = self.__compute_moment(tries, success)
        #print 'mean and variance: ', mean, var
        #self.alpha = mean*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.alpha = (mean+0.000001) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)
        #self.beta = (1-mean)*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.beta = (1.000001 - mean) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)

    def __compute_moment(self, tries, success):
        '''moment estimation'''
        ctr_list = []
        var = 0.0
        for i in range(len(tries)):
            ctr_list.append(float(success[i])/tries[i])
        mean = sum(ctr_list)/len(ctr_list)
        for ctr in ctr_list:
            var += pow(ctr-mean, 2)

        return mean, var/(len(ctr_list)-1)



def test():
    hyper = HyperParam(1, 1)
    #--------sample training data--------
    I, C = hyper.sample_from_beta(10, 1000, 10000, 1000)
    print I, C

    #--------estimate parameter using fixed-point iteration--------
    hyper.update_from_data_by_FPI(I, C, 1000, 0.00000001)
    print hyper.alpha, hyper.beta

    #--------estimate parameter using moment estimation--------
    hyper.update_from_data_by_moment(I, C)
    print hyper.alpha, hyper.beta

 

4. 參考文獻

1. Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising

2. Estimating a Dirichlet distribution

 

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