在寫這篇博客之前，我最想做的一件事就是：ORZ莫隊%%%%%%%%。
說明：ceil(x)表示x向上取整，sqrt(x)表示對x開算數平方根。
一、莫隊算法簡介
莫隊算法是一種暴力算法，真的很暴力，但速度很快，屬於速度快的暴力。它的基本思想就是分塊。關於分塊的介紹建議參考hzwer的博客，然后%%%%hzw。莫隊算法主要用於解決一類離線查詢的問題，和線段樹處理的問題是一樣的，但處理的是兩個不同的方面，當由[L,R]轉移到[L’，R’]的時間為O(|L'-L|+|R'-R|)時適宜使用莫隊算法。這個可以從題目中體會。因為采取的是分塊，它的復雜度是O(nsqrt(n))。其實質是將詢問按照某種順序排好，這個也應該從題目中去體會，我們參考一道題目。
二、典型例題
著名例題，小Z的襪子
鏈接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2038
題目是中文的，看得懂所以不復制粘貼了。題意也不難理解，稍有組合數學常識的人都可以看出。
三、解法
因為題目中的組合是C(n,2)，所以我們預處理出C2數組，存放2-n對2的組合數，作為特例，C(0，2)=C(1，2)=0;
我們用桶tab存放[L,R]中每種顏色的數量，假設我們求出了[L,R]，求[L+1,R](或[L-1,R][L,R+1][L,r-1])時只需要把桶里面的--或++就可以了，令[L,R]的答案為ans，那么[L+1,R]的答案為ans-C(tab[L],2)+C(tab[L]+1,2),這是O(1)的;
我們可以發現，假設我們求出了[L,R]，那么我們求出[L’，R’]的時間為O(|L'-L|+|R'-R|)，所以我們采用莫隊算法。
數據范圍是n，m<=50000，這啟發我們用分塊（當然如果執意要寫曼哈頓最小生成樹那也沒人攔你）。我們先將所有詢問按照l為第一關鍵字，r為第二關鍵字排一遍序，再將排好序的數組分成[√n]塊,再將分好塊的數組按照r大小排一遍序，這樣我們就做完了第一步了。
接着我們按塊處理，對於每一塊，找出每個詢問和它前面一個詢問的差異，修改差異，不斷地這么做，就可以得到答案。
這樣做總時間復雜度僅有O(n√n),比原有的O(n^2)的暴力快了許多，但這是為什么呢？
四、復雜度分析
首先是分塊這一步，這一步的時間復雜度毫無疑問地是O(√n*√n*log√n+nlogn)=O(nlogn);
接着就到了莫隊算法的精髓了，下面我們用通俗易懂的初中方法來證明它的時間復雜度是O(n√n)；
證：令每一塊中L的最大值為max1,max2,max3,...,maxceil(√n).
由第一次排序可知，max1<=max2<=...<=maxceil(√n)
顯然，對於每一塊暴力求出第一個詢問的時間復雜度為O(n)。
考慮最壞的情況，在每一塊中，R的最大值均為n，每次修改操作均要將L由maxi-1修改至maxi或由maxi修改至maxi-1。
考慮R：因為R在塊中已經排好序，所以在同一塊修改完它的時間復雜度為O(n)。對於所有塊就是O(n√n)。
重點分析L：因為每一次改變的時間復雜度都是O(maxi-maxi-1)的，所以在同一塊中時間復雜度為O(√n*(maxi-maxi-1)).
將每一塊L的時間復雜度合在一起，可以得到對於L的總時間復雜度為
O(√n*(max1-1)+√n*(max2-max1)+√n*(max3-max2)+...+√n*(maxceil(√n)-maxceil(√n-1)))
=O(√n*(max1-1+max2-max1+max3-max2+...+maxceil(√n-1)-maxceil(√n-2)+maxceil(√n)-maxceil(√n-1)))
=O(√n*(maxceil(√n)-1)) (初中裂項求和)
由題可知maxceil(√n)最大為n，所以L的總時間復雜度最壞情況下為O(n√n).
綜上所述，莫隊算法的時間復雜度為O(n√n)；
五、例題代碼
還是用emacs寫的，所以還是兩格縮進，不喜勿噴。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 ll a[60000],tab[60000]; 5 struct ask{ 6 ll l,r,num; 7 }b[60000]; 8 ll cmp(ask x,ask y){ 9 if(x.l<y.l) return 1; 10 if(x.l>y.l) return 0; 11 if(x.r<y.r) return 1; 12 return 0; 13 } 14 ll comp(ask x,ask y){ 15 if(x.r<y.r) return 1; 16 if(x.r>y.r) return 0; 17 if(x.l<y.l) return 1; 18 return 0; 19 } 20 ll gcd(ll a,ll b){ 21 if(!b) return a; 22 return gcd(b,a%b); 23 }ll n,m; 24 ll comb2[60000];//組合數C(n,2) 25 ll prix[60000],priy[60000];//答案 26 ll rep(ll ol,ll nl,ll lr,ll nr,ll &ans){//回答修改的問題，原來的是[ol,lr],現在是[nl,nr]; 27 if(ol<=nl) 28 for(ll i=ol;i<nl;i++){ans-=comb2[tab[a[i]]]; tab[a[i]]--;ans+=comb2[tab[a[i]]];} 29 else 30 for(ll i=ol-1;i>=nl;i--){ans-=comb2[tab[a[i]]]; tab[a[i]]++;ans+=comb2[tab[a[i]]];} 31 for(ll i=lr+1;i<=nr;i++){ans-=comb2[tab[a[i]]]; tab[a[i]]++;ans+=comb2[tab[a[i]]];} 32 return ans; 33 } 34 35 int main(){ 36 scanf("%lld%lld",&n,&m);comb2[1]=comb2[0]=0; 37 for(ll i=2;i<=n;i++)comb2[i]=(ll)((double)i/2.0*(double)(i-1));//計算組合數 38 for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); 39 for(ll i=1;i<=m;i++){ 40 scanf("%lld%lld",&b[i].l,&b[i].r); 41 b[i].num=i; 42 } 43 ll sq=sqrt(m); 44 sort(b+1,b+m+1,cmp);//第一次排序 45 for(ll i=1;i<=m;i+=sq){ 46 sort(b+i,b+min(i+sq,m+1),comp);//第二次排序 47 } 48 for(ll i=1;i<=m;i+=sq){ 49 ll ed=min(m,i+sq-1); 50 memset(tab,0,sizeof(tab));ll maxx=0; 51 long long ans=0;ans=rep(b[i].l,b[i].l,b[i].l-1,b[i].r,ans);//同下 52 prix[b[i].num]=ans;priy[b[i].num]=comb2[b[i].r-b[i].l+1];//暴力算出每塊的第一個，其實這里可以不這么做，直接繼承上一塊也行 53 if(prix[b[i].num]==0)priy[b[i].num]=1; 54 else{ll g=gcd(prix[b[i].num],priy[b[i].num]); 55 prix[b[i].num]/=g;priy[b[i].num]/=g;}//約分 56 for(ll j=i+1;j<=ed;j++){ 57 prix[b[j].num]=rep(b[j-1].l,b[j].l,b[j-1].r,b[j].r,ans);//從上一個詢問推導這一個詢問 58 priy[b[j].num]=comb2[b[j].r-b[j].l+1]; 59 if(prix[b[j].num]==0)priy[b[j].num]=1; 60 else{ 61 ll g=gcd(prix[b[j].num],priy[b[j].num]); 62 prix[b[j].num]/=g;priy[b[j].num]/=g; 63 } 64 } 65 } 66 for(ll i=1;i<=m;i++){ 67 printf("%lld/%lld\n",prix[i],priy[i]);//這里需要注意，BZOJ有坑，cout是會RE的 68 } 69 return 0; 70 }