機房的眾神犇都在搞這個東西，本SB也摻和一下下吧。
莫隊算法可用於解決一類可離線且在得到區間\([l,r]\)的答案后，能在\(O(1)\)或\(O(\log_2{n})\)得到區間\([l,r+1]\)或\([l-1,r]\)的答案的問題
先看這樣一個問題：
給出n個數字，m次詢問，每次詢問在區間\([l_i,r_i]\)之間任選兩個數字相等的概率是多少。（n,q<=50000）（小z的襪子）
在區間\([l,r]\)中，這個概率是：
\[\frac{\sum_{i=1}^{v}C(2,f(i))}{C(2,r-l+1)}$$ (v表示數字值，f(i)表示數字i在區間內出現的次數) 由於沒有加和性質，傳統的線段樹什么的完全派不上用場了呢！ 考慮分子，因為$C(2,x)=\frac{x^2-x}{2}$，所以分子=$\frac{\sum_{i=1}^{v}f(i)^2-\sum_{i=1}^{v}f(i)}{2}$ 顯然 $\sum_{i=1}^{v}f(i)=r-l+1$ 若得知區間$[l,r]$的答案怎么求區間$[l,r+1]$的答案呢？仔細想想。恩，有了。區間$[l,r+1]$與區間$[l,r]$相比只多了一個元素Z，這種改動是很小的，那么前式中分子的值$S=S_0-f(Z)^2+(f(Z)+1)^2-1=S_0+2*f(Z)$，同時++f(z)，恩，$O(1)$的。這樣的話，在處理下一個詢問$[l_i,r_i]$時，復雜度就是$O(|r-r_i|+|l-l_i|)$的。同樣的方法，也可以在$O(1)$內求出$[l-1,r]$，$[l+1,r]$,$[l,r-1]$。這樣的方法對於隨機數據表現是很好的，但也不難給出故意卡你的數據。 這時，就需要莫隊算法來撐腰了，這也是莫隊算法優化的精髓。 注意到，每個區間可以抽象成平面中的點，每次轉移的花費都相當與從某點到另一點的曼哈頓距離的長度。恩，所以呢？ 所以我們花費的便是這些平面中的點聯通的曼哈頓距離。平面點的曼哈頓最小生成樹！ 對！但平面點的曼哈頓最小生成樹怎么求呢？枚舉兩兩點連接$O(n^2)$，毫無意義。其實平面點的曼哈頓最小生成樹有基於平面區域划分的$O(nlog_2n)$的求法，但我們有更簡潔的方法。對，分塊！ 神犇曰：分塊是個好東西 確實，利用分塊，我們可以實現$O(n\sqrt{n})$的時間復雜度。雖然求解平面點的曼哈頓最小生成樹是$O(nlog_2n)$的，但根據莫隊論文中的證明，用到這里時，仍然是$O(n\sqrt{n})$，只不過常數小一些罷了。 分塊的做法： 取$x=\sqrt(n)$，以$[1,x],[x+1,2x],[2x+1,3x]...$分塊 用pos數組維護端點i在第pos[i]塊中，然后就搞唄。 這樣搞： 1)：排序，以左段點所在的塊為第一關鍵字，以右端點為第二關鍵字 2)：從左往右處理詢問（離線） 3)：不斷調整l,r的位置並同時修改 時間復雜度證明： >右端點移動： > 首先我們考慮一個塊里面的轉移情況 > 由於一個塊里面的詢問都按右端點排序 > 所以我們右端點在一個塊里面最多移動n次 > 有 $O(\sqrt{n})$個塊，那么同一個塊內的右端點移動最多就是$O(n\sqrt{n})$ > 然后考慮從一個塊到另一個塊導致的右端點變化 > 最壞情況，右端點由n到1，那么移動n次 > 有 $O(\sqrt{n})$個塊 > 那么從一個塊到另一個塊的事件只會發生$O(\sqrt{n})$次…… > 所以這種右端點移動的次數也是$O(n\sqrt{n})$次 > 沒有別的事件導致右端點移動了 > 左端點移動： > 同一個塊里面，由於左端點都在一個長度為$O(\sqrt{n})$的區間里面 > 所以在同一塊里面移動一次，左端點最多變化$O(\sqrt{n})$ > 總共有n個詢問…… > 所以同一塊里面的移動最多n次 > 那么同一個塊里面的左端點變化最多是$O(n\sqrt{n})$的 > 考慮跨越塊 > 每由第i個塊到第i+1個塊，左端點最壞加上$O(\sqrt{n})$ > 總共能加上$O(\sqrt{n})$次 > 所以跨越塊導致的左端點移動是$O(n)$的 綜上，分塊做法是$O(n*\sqrt{n})$。 ##總結 莫隊算法在解決離線區間詢問幾乎是**無敵**的。 恩，幾乎只要能離線，用分塊的莫隊算法都能取得一個令人滿意的的解法。 所以就有很多擴展（解決線段樹等數據結構由於需要區間加和性而不能解決的問題），如區間眾數，平均數什么的。 恩。棒！ 附: [BZOJ]2038 小Z的襪子 分塊 莫隊算法 ```cpp #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 50000 + 500; typedef long long LL; LL gcd(LL a,LL b) { return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } int pos[maxn]; int col[maxn]; int f[maxn]; int n,m; struct Query { int l,r,id; LL a,b; friend bool operator < (const Query &R,const Query &T) { return pos[R.l]<pos[T.l] || (pos[R.l]==pos[T.l] && R.r<T.r); } void modify() { LL k=gcd(a,b); a/=k,b/=k; } }Q[maxn]; bool cmp_id(const Query &a,const Query &b) { return a.id<b.id; } void init() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&col[i]); int limit=(int)sqrt((double)n+0.5); for(int i=1;i<=n;++i) pos[i]=(i-1)/limit+1;//左端點分塊 for(int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r); Q[i].id=i; } sort(Q+1,Q+m+1); } void modify(int p,LL &ans,int add) { ans=ans+2*add*f[col[p]]+1; f[col[p]]+=add; } void solve() { LL ans=0; int l=1,r=0; for(int i=1;i<=m;++i) { if(r<Q[i].r) { for(r=r+1;r<Q[i].r;++r) modify(r,ans,1); modify(r,ans,1); } if(Q[i].l<l) { for(l=l-1;Q[i].l<l;--l) modify(l,ans,1); modify(l,ans,1); } if(Q[i].r<r) for(;Q[i].r<r;--r) modify(r,ans,-1); if(l<Q[i].l) for(;l<Q[i].l;++l) modify(l,ans,-1); if(Q[i].l==Q[i].r) { Q[i].a=0,Q[i].b=1; continue; } Q[i].a=ans-(Q[i].r-Q[i].l+1),Q[i].b=(LL)(Q[i].r-Q[i].l+1)*(Q[i].r-Q[i].l); Q[i].modify(); } sort(Q+1,Q+m+1,cmp_id); for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld/%lld\n",Q[i].a,Q[i].b); } int main() { init(); solve(); return 0; } ``` Refrence: [http://foreseeable97.logdown.com/posts/158522-233333](http://foreseeable97.logdown.com/posts/158522-233333) [http://ydcydcy1.blog.163.com/blog/static/21608904020134411543898/](http://ydcydcy1.blog.163.com/blog/static/21608904020134411543898/) [http://vawait.com/manhattanmst/](http://vawait.com/manhattanmst/) [http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908](http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908)\]