[分析力學]解題思路 - 虛功原理與達朗貝爾方程

更新：8 JAN 2017

虛功原理

虛功定義

\[\delta W = \dot{\vec{p}}\cdot \delta\vec r \]

這個定義描述系統中某個質點/質心。

其他常用形態：

由牛頓第二定律 \(\vec F=\dot{\vec p}\) 引入通常力的概念得

\[\delta W = \vec F\cdot \delta\vec r \]

虛功原理

理想約束下的⼒學系統處於平衡狀態的必要條件為：作⽤在系統上的主動⼒在任何約束條件所允許的虛位移下的虛功之和為零。若約束為完整並且定常, 則該條件也是充分的。

【理想約束】

常見的理想約束：

1. 質點沿光滑曲面運動

2. 兩個質點由剛性輕桿所連接

3. 兩個剛體以光滑表面接觸

更一般判據：只要物體間連接是剛性的，所有接觸面是理想光滑或絕對粗糙。

【完整約束】

描述單個約束條件只和體系各質點的坐標\(r_i\)及時間\(t\)有關。約束方程可寫成

\[f(r_1,r_2,⋯,r_n,t)=0 \]

強調與速度或廣義速度無關。

每一個完整約束都可以代數消去一個不獨立坐標。

【定常約束】

約束方程中不顯含時間。

【主動力】

非系統中物體的相互作用力，也可以說是外力。例如重力、外界施與的拉力等。

解題思路

1.利用虛功原理求解靜力學平衡位置

對靜力學系統，先確定自由度，找獨立坐標，確定主動力；再求主動力虛功、虛位移，令虛功為零，而獨立坐標的虛位移任意變化，則其系數分別為零，得到靜力平衡方程；解得平衡坐標。

【例】質量分別為\(m_1\)和\(m_2\)的兩個質點由長度為\(l\)的剛性輕桿聯結, 將它們放到表⾯光滑的半圓形容器內（如圖）, 容器的半徑也為 \(r\) \((l<2r)\). 試求它們在重⼒作⽤下的平衡位置。

2.利用虛功原理求解靜力學系統中的約束反力

方法一：將該約束反力視為主動力處理，該約束反力對應的位移視為獨立坐標；由上面的方法求出含有主動力和約束反力對應獨立坐標的靜力平衡方程；代入上面求出的平衡坐標可以求出約束反力。

方法二：直接寫出虛功原理，將約束方程變分后以拉格朗日乘因子法加入其中，增加一個未知量求解。

【例】求上面碗對桿底部的支持力\(\vec N\)。

重點問題

懸鏈問題：由離散到連續

思路：對於每個微元，都受到微小重力為主動力，因此主動力的方程就是對微元受的微重力（\(\rho g\)）求積分（若有外力，再加上外力）；然后考慮約束——總長恆定的繩，則列積分式帶上拉格朗日乘子加入方程，對其他約束也如此。

達朗貝爾方程

達朗貝爾方程

理想約束下, 所有時刻真實運動的主動⼒和慣性⼒在系統任何虛位移下所做的元功之和為零：

\[\sum_i(F_i − m_i\ddot r_i)\cdot\delta r_i = 0 \]

顯然在靜力學系統下方程退化為虛功原理。

解題的關鍵在於找正確的約束方程，解法基本和虛功原理類似。