轉自：http://www.cnblogs.com/haippy/archive/2012/07/13/2590351.html
布隆過濾器［1］（Bloom Filter）是由布隆（Burton Howard Bloom）在1970年提出的。它實際上是由一個很長的二進制向量和一系列隨機映射函數組成，布隆過濾器可以用於檢索一個元素是否在一個集合中。它的優點是空間效率和查詢時間都遠遠超過一般的算法，缺點是有一定的誤識別率（假正例False positives，即Bloom Filter報告某一元素存在於某集合中，但是實際上該元素並不在集合中）和刪除困難，但是沒有識別錯誤的情形（即假反例False negatives，如果某個元素確實沒有在該集合中，那么Bloom Filter 是不會報告該元素存在於集合中的，所以不會漏報）。
在日常生活中，包括在設計計算機軟件時，我們經常要判斷一個元素是否在一個集合中。比如在字處理軟件中，需要檢查一個英語單詞是否拼寫正確（也就是要判斷 它是否在已知的字典中）；在 FBI，一個嫌疑人的名字是否已經在嫌疑名單上；在網絡爬蟲里，一個網址是否被訪問過等等。最直接的方法就是將集合中全部的元素存在計算機中，遇到一個新 元素時，將它和集合中的元素直接比較即可。一般來講，計算機中的集合是用哈希表（hash table）來存儲的。它的好處是快速准確，缺點是費存儲空間。當集合比較小時，這個問題不顯著，但是當集合巨大時，哈希表存儲效率低的問題就顯現出來 了。比如說，一個象 Yahoo,Hotmail 和 Gmai 那樣的公眾電子郵件（email）提供商，總是需要過濾來自發送垃圾郵件的人（spamer）的垃圾郵件。一個辦法就是記錄下那些發垃圾郵件的 email 地址。由於那些發送者不停地在注冊新的地址，全世界少說也有幾十億個發垃圾郵件的地址，將他們都存起來則需要大量的網絡服務器。如果用哈希表，每存儲一億 個 email 地址， 就需要 1.6GB 的內存（用哈希表實現的具體辦法是將每一個 email 地址對應成一個八字節的信息指紋（詳見：googlechinablog.com/2006/08/blog-post.html）， 然后將這些信息指紋存入哈希表，由於哈希表的存儲效率一般只有 50%，因此一個 email 地址需要占用十六個字節。一億個地址大約要 1.6GB， 即十六億字節的內存）。因此存貯幾十億個郵件地址可能需要上百 GB 的內存。除非是超級計算機，一般服務器是無法存儲的［2］。（該段引用谷歌數學之美：http://www.google.com.hk/ggblog/googlechinablog/2007/07/bloom-filter_7469.html）
基本概念
如果想判斷一個元素是不是在一個集合里，一般想到的是將所有元素保存起來，然后通過比較確定。鏈表，樹等等數據結構都是這種思路. 但是隨着集合中元素的增加，我們需要的存儲空間越來越大，檢索速度也越來越慢。不過世界上還有一種叫作散列表（又叫哈希表，Hash table）的數據結構。它可以通過一個Hash函數將一個元素映射成一個位陣列（Bit Array）中的一個點。這樣一來，我們只要看看這個點是不是 1 就知道可以集合中有沒有它了。這就是布隆過濾器的基本思想。
Hash面臨的問題就是沖突。假設 Hash 函數是良好的，如果我們的位陣列長度為 m 個點，那么如果我們想將沖突率降低到例如 1%, 這個散列表就只能容納 m/100 個元素。顯然這就不叫空間有效了（Space-efficient）。解決方法也簡單，就是使用多個 Hash，如果它們有一個說元素不在集合中，那肯定就不在。如果它們都說在，雖然也有一定可能性它們在說謊，不過直覺上判斷這種事情的概率是比較低的。
優點
相比於其它的數據結構，布隆過濾器在空間和時間方面都有巨大的優勢。布隆過濾器存儲空間和插入/查詢時間都是常數。另外, Hash 函數相互之間沒有關系，方便由硬件並行實現。布隆過濾器不需要存儲元素本身，在某些對保密要求非常嚴格的場合有優勢。
布隆過濾器可以表示全集，其它任何數據結構都不能；
k 和 m 相同，使用同一組 Hash 函數的兩個布隆過濾器的交並差運算可以使用位操作進行。
缺點
但是布隆過濾器的缺點和優點一樣明顯。誤算率（False Positive）是其中之一。隨着存入的元素數量增加，誤算率隨之增加。但是如果元素數量太少，則使用散列表足矣。
另外，一般情況下不能從布隆過濾器中刪除元素. 我們很容易想到把位列陣變成整數數組，每插入一個元素相應的計數器加1, 這樣刪除元素時將計數器減掉就可以了。然而要保證安全的刪除元素並非如此簡單。首先我們必須保證刪除的元素的確在布隆過濾器里面. 這一點單憑這個過濾器是無法保證的。另外計數器回繞也會造成問題。
False positives 概率推導
假設 Hash 函數以等概率條件選擇並設置 Bit Array 中的某一位，m 是該位數組的大小，k 是 Hash 函數的個數。
而對於給定的False Positives概率 p，如何選擇最優的位數組大小 m 呢，
上式表明，位數組的大小最好與插入元素的個數成線性關系，對於給定的 m，n，k，假正例概率最大為：
Bloom Filter 用例
Google 著名的分布式數據庫 Bigtable 使用了布隆過濾器來查找不存在的行或列，以減少磁盤查找的IO次數［3］。
Squid 網頁代理緩存服務器在 cache digests 中使用了也布隆過濾器［4］。
在很多Key-Value系統中也使用了布隆過濾器來加快查詢過程，如 Hbase，Accumulo，Leveldb，一般而言，Value 保存在磁盤中，訪問磁盤需要花費大量時間，然而使用布隆過濾器可以快速判斷某個Key對應的Value是否存在，因此可以避免很多不必要的磁盤IO操作，只是引入布隆過濾器會帶來一定的內存消耗，下圖是在Key-Value系統中布隆過濾器的典型使用：
