堆（heap），是一種特殊的數據結構。之所以特殊，因為堆的形象化是一個棵完全二叉樹，並且滿足任意節點始終不大於（或者不小於）左右子節點（有別於二叉搜索樹Binary Search Tree）。其中，前者稱為小頂堆（最小堆，堆頂為最小值），后者為大頂堆（最大堆，堆頂為最大值）。然而更加特殊的是，通常使用數組去存儲堆，而不是二叉樹。關於完全二叉樹，可以參見另一篇博文http://www.cnblogs.com/eudiwffe/p/6207196.html
// Heap is a sepcial complete binary tree(CBT) /* Heap sketch is a CBT, but stored in Array * 9 ---> maxtop 7 7 * / \ / \ / \ * / \ / \ / \ * 7 8 4 8 4 5 * / \ / \ / \ / / * / \ / \ / \ / / * 5 3 2 4 3 5 3 6 * * (1) (2) (3) * maxtop heap not maxtop(mintop) not heap(CBT) * */
具體而言，對於長度為N的數組A中的任意一個元素i（0<=i<N/2），其左右子節點為i*2+1和i*2+2。以大頂堆為例，該堆始終滿足:
A[i]>=A[i*2+1] && A[i]>=A[i*2+2]。（下文不做特殊說明均以大頂堆為例）
如何創建一個堆呢？對於給定的一個數組arr[]和長度n，一般使用在數組上就地堆化。堆化的過程實際是調整堆的過程。有自上到下和自下到上兩種堆化方法。
1）自上到下構建堆
// Method 1
// Create (Initialize) Heap, from top to bottom
void heap_create(int arr[], int n)
{
int i; // from top to bottom
for(i=1; i<n; heap_adjust(arr,i++));
}
自上到下很好理解，首先假設當前數組arr的前i個元素已經滿足堆性質（arr[0]只有一個元素肯定滿足）；然后每次在數組之后添加一個元素A[i]，使得新的數組A[0~i]滿足堆化性質，其中heap_adjust可以調整當前節點i使其滿足堆化；直到i為n時，調整完畢，即堆化完畢。其中heap_adjust如下：
void heap_adjust(int arr[], int c)
{ // c - children, p - parent
int p = (c-1)>>1, temp;
// heap adjust from maxtop, from bottom to top
for(; arr[p]<arr[c]; c=p, p=(c-1)>>1){
temp = arr[p];
arr[p] = arr[c];
arr[c] = temp;
}
} // Time O(logn)
調整代碼也很好理解，首先找到當前節點c的父節點p，如果arr[p]<arr[c]，則交換，然后繼續尋找p的父節點進行調整；否則，調整完畢（因為前文已經假設，數組的前i-1已經滿足堆化，新添一個元素i進行調整）。
很有意思，構建堆時使用自上到下，那么調整堆就必須自下到上。
2）自下到上構建堆
// Method 2
// Create (Initialize) Heap, from bottom to top
void heap_create(int arr[], int n)
{
int i; // from bottom to top
for(i=(n>>1)-1; i>-1; heap_adjust(arr,i--,n));
}
此處自下到上的“下”，並不是數組最后一個元素，而是最后一個父節點n/2-1。也就是以父節點為線索，逐漸調整該節點的子節點。因此，此處heap_adjust是自上到下的調整，如下
void heap_adjust(int arr[], int p, int n)
{ // c - children, p - parent
int maxid=p, temp;
// heap_adjust for maxtop, from top to bottom
for(; p<(n>>1); p=maxid){
if ((p<<1)+1<n && arr[(p<<1)+1]>arr[maxid])
maxid = (p<<1)+1;
if ((p<<1)+2<n && arr[(p<<1)+2]>arr[maxid])
maxid = (p<<1)+2;
if (maxid == p) break;
// swap arr[maxid] and arr[p]
temp = arr[maxid];
arr[maxid] = arr[p];
arr[p] = temp;
}
} // Time O(logn)
首先保證當前p節點是作為父節點，然后在找到其子節點p*2+1和p*2+2，在三者中選擇最大的一個maxid，然后交換；否則調整結束。
兩種構建堆的方法各有利弊，方法1）是逐漸增加新節點，堆的節點增加方法數組尾部；方法2）是逐漸刪除堆頂節點，然后在剩下的節點中尋找最大的放在堆頂（一般會將數組尾元素與堆頂交換，以保證其符合完全二叉樹結構）。堆的調整時間復雜度均為O(logn)，堆的創建時間復雜度均為O(nlogn)。
3）堆排序
堆的常見應用是堆排序。堆排序方法十分巧妙，無須額外空間，直接在原數組中進行堆排序。對於給定的數組arr[]以及其長度n，首先進行原地堆化，上面兩種方法均可，推薦第二種；然后每次將堆頂元素與數組尾元素交換，即arr[0]與arr[n-1]交換；將數組arr[]以及其長度n-1進行堆調整，此調整使用2）中的調整方法；反復迭代，直到調整數組的長度為1為止，排序完畢。
以非降序排序為例，每次刪除堆頂的元素放入數組尾部，所以需要使用大頂堆。
// Heap Sort - ascending order
void heap_sort(int arr[], int n)
{
int i, temp;
// init maxtop heap, using method 2 (from bottom to top)
for (i=(n>>1)-1; i>-1; heap_adjust(arr,i--,n));
for (i=n-1; i>0; heap_adjust(arr,0,i--)){
// mv heap top to end (heap top is max)
temp = arr[0];
arr[0] = arr[i];
arr[i] = temp;
}
} // Time O(nlogn)
每次調整堆，只需將堆頂調整即可。堆化時間復雜度為O(nlogn)，排序時間復雜度為O(nlogn)，總的時間復雜度為O(nlogn)。因為調整堆必須使用自上到下的方法調整heap_adjust，所以使用方法2）進行堆化和調整，十分巧妙。
4）TopK問題
TopK問題描述：在N個無序元素中，找到最大的K個（或最小的K）。
如果使用排序類似的算法，其時間復雜度為O(NlogN)+O(K)。當N遠大於K時，例如N為1e9，而K為10時，這種方法顯然太慢。使用堆化和堆調整則可以快速解決。以下以尋找最小的K個元素為例。
設有一個K長度的最大堆，如果在數組中有一個元素小於該堆頂，則該元素有可能為尋找的最小K元素之一。則將該元素替換堆頂，然后進行堆調整。反復迭代，直到遍歷了數組中的所有元素。此時，該長度為K的最大堆就是待尋找的TopK。
// TopK problem : find max k (or min k) elements from unordered set
// eg. find min k elements from arr[], stored in res[]
void topk(int arr[], int n, int res[], int k)
{
int i; // copy and k elements to res
for (i=0; i<k; res[i]=arr[i],++i);
// make maxtop heap for res[]
for(i=(k>>1)-1; i>-1; heap_adjust(res,i--,k));
for(i=k; i<n; ++i){
if (res[0] <= arr[i]) continue;
// now arr[i] < heap top
res[0] = arr[i];
heap_adjust(res,0,k);
}
} // Time O(nlogk)
其中arr[]為原始無序數據，res[]為尋找結果。堆調整使用2）中的調整方法。首先任意選擇無序數組arr[]中的K個元素，對其進行堆化；然后從K開始遍歷無序數組arr[]，每次將比堆頂小的放入堆頂，然后堆調整；最后得到堆res[]為TopK結果。其時間復雜度：創建K個元素堆O(KlogK)，尋找最小K元素O((N-K)logK)，總時間復雜度為O(NlogK)，（當N遠大於K時）。
對於尋找最大K個元素，則需要構建最小堆，以及最小堆的堆調整，不再贅述。
注：本文涉及的源碼：https://git.oschina.net/eudiwffe/codingstudy/blob/master/src/heap/heap.c